Seja
$$
f(x)=\frac{e^{x}}{9 x}$$
Determine Domínio, assíntotas, pontos de máximo e mínimo, intervalos de rescimento, concavidade e pontos de inflexão. Faça um esboço do gráfico de f(x) = e^x / (9 x). Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta é sobre a função . Precisamos descobrir várias coisas sobre essa função: qual é o domínio dela, suas assíntotas, onde ela tem pontos de máximo e mínimo, em quais intervalos ela está crescendo, sua concavidade, pontos de inflexão e, por fim, fazer um esboço do gráfico. Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo, como derivadas para encontrar máximos, mínimos e intervalos de crescimento, e derivadas segunda para a concavidade e pontos de inflexão.

Passo 2

Domínio da função
Primeiro, vamos achar o domínio da função . O domínio é o conjunto de valores de para os quais a função está definida.
Aqui, temos uma fração. Para que uma fração esteja definida, o denominador não pode ser zero. Então, , ou seja, .
Além disso, o expoente está definido para todo número real.
Portanto, o domínio é todos os números reais menos zero:

Passo 3

Assíntotas da função
Agora, vamos identificar as assíntotas da função.
  1. Assíntota Vertical: Ocorre onde a função tende ao infinito, geralmente onde o denominador é zero.
    Como faz com que o denominador seja zero, temos uma assíntota vertical em .
  2. Assíntota Horizontal: Verificamos o comportamento da função quando tende ao infinito ou menos infinito.
    Portanto, não há assíntota horizontal positiva, mas há uma assíntota horizontal em quando .
  3. Assíntota Oblíqua: Para verificar se há, comparamos os graus do numerador e denominador. Aqui, o numerador cresce exponencialmente, que supera qualquer crescimento polinomial, então não há assíntota oblíqua.
Resumindo:
  • Assíntota vertical:
  • Assíntota horizontal: (quando )

Passo 4

Pontos de máximo e mínimo
Para encontrar os pontos de máximo e mínimo, precisamos calcular a primeira derivada da função e encontrar onde ela é igual a zero ou não está definida.
Vamos calcular :
Agora, igualamos a zero:
Como nunca é zero, temos:
Então, há um ponto crítico em .
Para determinar se é máximo ou mínimo, vamos usar o teste da derivada segunda ou analisar a variação da primeira derivada.
Calculando a segunda derivada :
á
Mas um jeito mais simples é verificar o sinal da primeira derivada antes e depois de :
  • Para , digamos : → função decresce.
  • Para , digamos : → função cresce.
Então, em temos um ponto de mínimo.

Passo 5

Intervalos de crescimento e decrescimento
Já vimos que a primeira derivada .
  • Crescimento: onde
    Ou seja, para .
  • Decrescimento: onde
    Ou seja, para .
Portanto:
  • A função está decrescendo em .
  • A função está crescendo em .

Passo 6

Concavidade e pontos de inflexão
Para analisar a concavidade, vamos calcular a segunda derivada .
Primeiro, temos:
Agora, derivamos novamente:
Simplificando:
Agora, vamos analisar o sinal de :
Sabemos que e para todo , e para e para .
  • Para : → concavidade para cima.
  • Para : O denominador , mas o numerador ainda é positivo, então → concavidade para baixo.
Ponto de inflexão ocorre onde a concavidade muda, ou seja, em . Porém, não está no domínio da função, então não há ponto de inflexão.

Passo 7

Esboço do gráfico da função
Com todas as informações coletadas, vamos resumir para esboçar o gráfico:
  • Domínio:
  • Assíntotas: Vertical em e horizontal em
  • Ponto de mínimo: Em
  • Crescimento: Cresce para , decresce para
  • Concavidade: Para , concava para cima; para , concava para baixo
O gráfico terá uma curva que se aproxima da assíptota vertical e da horizontal . Haverá um ponto de mínimo em , e a função será decrescente antes desse ponto e crescente depois. A concavidade muda conforme analisado.

Resposta

A função tem domínio , assíntotas vertical em e horizontal em . Possui um ponto de mínimo em , está decrescendo no intervalo e crescendo para . A concavidade é para cima quando e para baixo quando , sem pontos de inflexão. O esboço do gráfico deve refletir essas características, aproximando-se das assíntotas e mostrando o comportamento decrescente e crescente nos intervalos indicados.

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