O que está errado com as equações? integral-2^1 x^-1 d x=x^-3-3]-2^1=-38

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que tá rolando aqui! A questão está apresentando uma integral definida de e, em seguida, tenta resolver essa integral usando a antiderivada . Nosso objetivo é identificar o que está errado nessas equações. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de cálculo integral, especialmente sobre como integrar funções do tipo .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a regra geral para integrar funções da forma integral x^n , dx = x^n+1n+1 + C (onde n neq -1) . A fórmula para a integral de em relação a é:
Aqui, é a constante de integração, e é importante notar que essa regra não se aplica quando .

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso à função que estamos integrando: integral x^-1 , dx = x^-1+1-1+1 + C = x^00 + C . Se tentarmos usar a regra acima, teríamos:
Mas veja só, isso resulta em uma divisão por zero, o que não é permitido! Isso nos mostra que a regra geral de potência não funciona para .

Passo 4

Ent��o, o que fazer quando integral x^-1 , dx = ln|x| + C ? A resposta é usar a integral de , que é uma forma especial. A antiderivada de é o logaritmo natural de :
Isso significa que, ao integrar , precisamos usar o logaritmo em vez da regra de potência.

Passo 5

Vamos agora corrigir a integral original usando a antiderivada correta:
integral-2^1 x^-1 , dx = [ ln|x| ]-2^1
No entanto, aqui encontramos um problema: o logaritmo de 0 é indefinido, e a função não está definida para . Além disso, nosso intervalo de integração inclui , o que significa que a integral é imprópria e na verdade é divergente (não converge para um número finito).

Passo 6

Portanto, a tentativa de resolver a integral usando está errada porque:
  1. A regra de potência não se aplica quando .
  2. A antiderivada correta para é , não .
  3. A integral em si é imprópria e diverge devido à presença de no intervalo de integração.

Resposta

As equações estão erradas porque a antiderivada de não é . Para , a integral correta é , e a integral definida de a é imprópria e diverge.

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