Verifique, por derivação, que a fórmula está correta. integral ln x d x=x ln x-x+C

Passo 1

Vamos lá! O enunciado pede para verificar, por diferenciação, se a fórmula da integral de ln x está correta. Isso significa que vamos derivar a expressão x ln x - x + C para ver se realmente obtemos ln x. Para resolver isso, vamos usar a Regra do Produto da derivação.

Passo 2

Primeiro, identifique a função que vamos derivar:
f(x) = x ln x - x + C

Passo 3

Agora, vamos derivar cada termo separadamente. Temos três termos para derivar: x ln x, -x e C.

Passo 4

Começando pelo primeiro termo, x ln x, usamos a Regra do Produto. A regra diz que se temos uma função da forma u(x) cdot v(x), a derivada é:
u'(x) v(x) + u(x) v'(x)
Aqui, u(x) = x e v(x) = ln x. Então:
u'(x) = 1
v'(x) = 1x
Aplicando a regra:
ddx(x ln x) = 1 cdot ln x + x cdot 1x = ln x + 1

Passo 5

Derivando o segundo termo, -x:
ddx(-x) = -1

Passo 6

Derivando o terceiro termo, a constante C:
ddx(C) = 0

Passo 7

Agora, somamos todas as derivadas:
ln x + 1 - 1 + 0 = ln x

Resposta

Após derivar x ln x - x + C, obtemos ln x. Isso confirma que a fórmula da integral está correta:
integral ln x , dx = x ln x - x + C

Exercícios relacionados