A velocidade, medida em m/s, de um ponto em movimento sobre uma reta coordenada é dada pela função v(t) = cos^2(pi t). Qual a distância percorrida pelo ponto após 5 segundos?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a velocidade de um ponto em movimento numa reta, dada pela função em metros por segundo. A pergunta é: qual a distância que esse ponto percorre depois de 5 segundos? Vamos usar conceitos de cálculo, especificamente integração, para descobrir isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que para achar a distância percorrida quando temos a velocidade em função do tempo, a gente tem que integrar a função da velocidade no intervalo de tempo considerado. Isso porque a integral da velocidade nos dá a posição, ou seja, a distância percorrida.

Passo 3

Então, vamos integrar a função de até segundos. A fórmula fica assim:
â

Passo 4

Agora, para facilitar a integração, vamos usar uma identidade trigonométrica que diz que:
Aplicando isso na nossa função de velocidade:

Passo 5

Substituindo na integral, temos:
â

Passo 6

Vamos agora integrar cada termo separadamente:
A primeira integral é simples:
Para a segunda integral, usamos a antiderivada de , que é :

Passo 7

Agora, juntando as partes:
â

Resposta

A distância percorrida pelo ponto após 5 segundos é de 2,5 metros.

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