A velocidade, medida em , de um ponto em movimento sobre uma reta coordenada é dada pela função . Qual a distância percorrida pelo ponto após 5 segundos?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a velocidade de um ponto em movimento numa reta, dada pela função em metros por segundo. A pergunta é: qual a distância que esse ponto percorre depois de 5 segundos? Vamos usar conceitos de cálculo, especificamente integração, para descobrir isso.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que para achar a distância percorrida quando temos a velocidade em função do tempo, a gente tem que integrar a função da velocidade no intervalo de tempo considerado. Isso porque a integral da velocidade nos dá a posição, ou seja, a distância percorrida.
Passo 3
Então, vamos integrar a função de até segundos. A fórmula fica assim:
Passo 4
Agora, para facilitar a integração, vamos usar uma identidade trigonométrica que diz que:
Aplicando isso na nossa função de velocidade:
Passo 5
Substituindo na integral, temos:
Passo 6
Vamos agora integrar cada termo separadamente:
A primeira integral é simples:
Para a segunda integral, usamos a antiderivada de , que é :
Passo 7
Agora, juntando as partes:
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Resposta
A distância percorrida pelo ponto após 5 segundos é de 2,5 metros.