54^a ) Ache a equação da reta tangente à parábola y^2=36 x traçada do ponto A=(2,9).

Passo 1

O enunciado pede a equação das retas tangentes à parábola y^2 = 36x que passam pelo ponto A = (2,9). O conteúdo é geometria analítica de parábolas e equação da reta tangente. Para resolver, vamos usar a forma geral da reta, impor a condição de tangência (discriminante nulo) e exigir que a reta passe por A.

Passo 2

Escrevemos a reta de coeficiente angular m como y = m x + b. Substituindo na parábola temos
(mx + b)^2 = 36x
que expande para
m^2x^2 + (2mb - 36)x + b^2 = 0

Passo 3

Para que essa equação em x tenha uma única solução (tangência), o discriminante deve ser zero:
,De<a = (2mb - 36)^2 - 4,m^2,b^2 = 0
Isso leva a
(2mb - 36)^2 = 4m^2b^2
ou seja
4m^2b^2 - 144mb + 1296 = 4m^2b^2
que simplifica para
-144mb + 1296 = 0
e daí obtemos
b = 1296144m = 9m

Passo 4

Agora exigimos que a reta passe por A(2,9):
9 = mcdot2 + b
Substituindo b = 9/m nessa equação:
9 = 2m + 9m
Multiplicando por m e rearranjando, obtemos a equação quadrática
2m^2 - 9m + 9 = 0

Passo 5

Resolvendo-a,
m = 9 pm raiz81 - 724 = 9 pm 34,
que dá os dois valores
m1 = 3, m2 = tfrac32

Passo 6

Por fim, calculamos b para cada m:
b1 = 93 = 3, b2 = 93/2 = 6

Resposta

As retas tangentes são
y = 3x + 3
e
y = tfrac32x + 6

Exercícios relacionados