Questão 3 (2,5 pontos). Dada a matriz M=(cc1 & 0 0 & 1 2 & -1) :
(a) A matriz M M^T é simétrica?
(b) A matriz M M^T é invertível? Caso afirmativo, encontre sua inversa.

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
M = 1 & 0 0 & 1 2 & -1
e pede para (a) verificar se MM^T é simétrica e (b) checar se MM^T é invertível (e, em caso afirmativo, encontrar a inversa). O conteúdo aqui envolve multiplicação de matrizes, propriedades de simetria e teste de invertibilidade via determinante.

Passo 2

Vamos calcular o produto
MM^T = 1 & 0 0 & 1 2 & -1 1 & 0 & 2 0 & 1 & -1 = 1cdot1+0cdot0 & 1cdot0+0cdot1 & 1cdot2+0cdot(-1) 0cdot1+1cdot0 & 0cdot0+1cdot1 & 0cdot2+1cdot(-1) 2cdot1+(-1)cdot0 & 2cdot0+(-1)cdot1 & 2cdot2+(-1)cdot(-1) = 1 & 0 & 2 0 & 1 & -1 2 & -1 & 5

Passo 3

Uma matriz A é simétrica se A=A^T. Como cada elemento acima da diagonal em posição (i,j) coincide com o correspondente abaixo da diagonal em (j,i), temos
MM^T = (MM^T)^T,
logo MM^T é simétrica.

Passo 4

Para checar a invertibilidade de uma matriz quadrada, podemos calcular o determinante. Para
A = MM^T = 1 & 0 & 20 & 1 & -12 & -1 & 5,
fazemos expansão na primeira linha:
det(A) =1cdotdet1 & -1-1 & 5 -0cdot(cdots) +2cdotdet0 & 12 & -1
Calculando cada menor,
det1 & -1-1 & 5 =1cdot5 -(-1)(-1)=5-1=4,
det0 & 12 & -1 =0cdot(-1)-1cdot2=-2
Logo
det(A)=1cdot4 +2cdot(-2)=4-4=0
Como det(A)=0, a matriz não é invertível.

Resposta

(a) Sim, MM^T é simétrica.
(b) Não, MM^T não é invertível (seu determinante é zero).

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