55^ a ) Obtenha as equações das retas tangentes à elipse x^2+4 y^2= 20 que são perpendiculares à reta 2 x-2 y-13=0.

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos as equações das retas tangentes à elipse x^2+4y^2=20 que sejam perpendiculares à reta 2x-2y-13=0. O conteúdo envolvido é geometria analítica de cônicas (tangente à elipse) e propriedade de inclinações de retas perpendiculares.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a inclinação da reta dada. A reta 2x-2y-13=0 pode ser escrita como
2y=2x-13
y=x-tfrac132
Logo, sua inclinação é m=1. Para que uma reta seja perpendicular a ela, sua inclinação mperp deve satisfazer mcdot mperp=-1, isto é, 1cdot mperp=-1 e portanto mperp=-1.

Passo 3

Agora, para achar as retas tangentes à elipse com inclinação -1, escrevemos a reta geral como
y=-x+b Substituímos na equação da elipse: x^2+4(-x+b)^2=20
Expandindo:
x^2+4(x^2-2bx+b^2)=20
5x^2-8bx+4b^2-20=0
Para que essa reta seja tangente, o discriminante dessa equação quadrática em x deve ser zero. O discriminante é
De<a =(-8b)^2-4cdot5,(4b^2-20)=64b^2-20(4b^2-20)
Colocando De<a=0:
64b^2-80b^2+400=0
-16b^2+400=0
b^2=25
b=pm5

Passo 4

Com b=5 e b=-5 obtemos as duas tangentes desejadas:
y=-x+5
y=-x-5

Resposta

As retas tangentes são x+y-5=0 e x+y+5=0.

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