) Obtenha as equações das retas tangentes à elipse
20 que são perpendiculares à reta
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrarmos as equações das retas tangentes à elipse
que sejam perpendiculares à reta
. O conteúdo envolvido é geometria analítica de cônicas (tangente à elipse) e propriedade de inclinações de retas perpendiculares.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a inclinação da reta dada. A reta
pode ser escrita como
Logo, sua inclinação é
. Para que uma reta seja perpendicular a ela, sua inclinação
deve satisfazer
, isto é,
e portanto
.
Passo 3
Agora, para achar as retas tangentes à elipse com inclinação
, escrevemos a reta geral como
Expandindo:
Para que essa reta seja tangente, o discriminante dessa equação quadrática em
deve ser zero. O discriminante é
Colocando
:
Passo 4
Com
e
obtemos as duas tangentes desejadas:
Resposta
As retas tangentes são
e
.