Ache a equação dos seguintes círculos:
Tangente ao eixo
na origem e raio
Tangente ao eixo
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a equação de círculos que são tangentes ao eixo
na origem e que têm raio igual a
. Isso envolve conceitos de geometria analítica, especificamente sobre equações de círculos e propriedades de tangência.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a equação geral de um círculo no plano cartesiano é dada por:
Onde
é o centro do círculo e
é o raio.
Passo 3
Como o círculo é tangente ao eixo
na origem
, isso significa que a origem está exatamente na borda do círculo. Portanto, a distância entre o centro do círculo
e a origem deve ser igual ao raio
.
Passo 4
A condição de tangência implica que a distância do centro ao ponto de tangência é igual ao raio. Usando a fórmula da distância entre dois pontos:
Simplificando:
Passo 5
Além disso, como o círculo é tangente ao eixo
, isso significa que o ponto de tangência está exatamente no eixo
. Portanto, o centro do círculo deve estar em uma posição horizontalmente alinhada com o eixo
. Isso implica que a coordenada
do centro é
.
Então,
, e a equação simplifica para:
Passo 6
Portanto, existem duas possibilidades para o centro do círculo:
Passo 7
Substituindo esses valores na equação geral do círculo, temos duas equações possíveis:
- Para o centro
:
- Para o centro
:
Resposta
As equações dos círculos são:
e