Fixado um sistema de coordenadas cartesiano, escreva a equação e esboce o gráfico:
da parábola com vértice na origem e foco ;
Passo 1
O enunciado pede a equação e o esboço de uma parábola cujo vértice é e o foco é .
Conteúdo: definição de parábola como lugar geométrico (distância ponto–foco distância ponto–diretriz) e forma canônica de parábola com eixo horizontal.
Passo 2
Como o foco está em e o vértice em , o eixo principal é horizontal e a parábola abre para a direita.
Chamamos a distância vértice–foco, logo . A diretriz é a reta vertical
Passo 3
Dados um ponto genérico da parábola, impomos
Passo 4
Elevando ao quadrado:
(x-8)^2 + y^2 = (x+8)^2
x^2 -16x +64 + y^2 = x^2 +16x +64
Cancelando x^2 e 64:
y^2 = 32x
Passo 5
Reconhecemos a forma canônica
y^2 = 4p,x
com p=8. A parábola tem eixo de simetria y=0, vértice (0,0), foco (8,0) e diretriz x=-8.
Passo 6
Esboço do gráfico:
Vértice em (0,0).
Foco em (8,0).
Diretriz reta vertical x=-8.
Abertura para a direita, simétrica em torno do eixo x.
Por exemplo, em x=2 temos y^2=32cdot2=64, ou seja, pontos (2,8) e (2,-8).
Desenhando esses pontos e ligando suavemente, obtém-se a parábola.
Resposta
A equação da parábola é
y^2 = 32x
e seu esboço é uma curva aberta para a direita, com vértice em (0,0), foco em (8,0) e diretriz x=-8.