Encontre a equação dos planos que contem a reta r e são tangentes a esfera S:
r: x+62=y+3=z+1
e S: x^2+y^2+z^2-4x+2y-4z+4=0.

Passo 1

O enunciado pede os planos que contêm a reta
r:x+62=y+3=z+1
e que sejam tangentes à esfera
S: x^2+y^2+z^2-4x+2y-4z+4=0
Isso envolve três coisas: (1) parametrizar a reta r, (2) determinar o centro e raio da esfera S completando quadrados, e (3) analisar se existe plano contendo r que toque S num único ponto.

Passo 2

Parametrizamos a reta r por
t=x+62=y+3=z+1 Longrightarrow x=2t-6, y=t-3, z=t-1
Agora completamos quadrados na equação de S:
x^2-4x+4 + y^2+2y+1 + z^2-4z+4 +4 - (4+1+4) =0
Longrightarrow (x-2)^2 + (y+1)^2 + (z-2)^2 -5 =0
Logo o centro é C=(2,-1,2) e o raio é R=raiz5.

Passo 3

Vamos ver onde a reta corta a esfera, resolvendo
(2t-6)^2+(t-3)^2+(t-1)^2-4(2t-6)+2(t-3)-4(t-1)+4=0
Isso leva a
6t^2-42t+72=0 Longrightarrow t^2-7t+12=0 Longrightarrow t=3 ou t=4
Portanto r intersecta S em dois pontos distintos. Qualquer plano que contenha toda a reta r conterá também esses dois pontos, de modo que não pode tocar a esfera em apenas um ponto. Concluímos que não existem planos reais passando por r que sejam tangentes a S.

Resposta

Não existem planos reais que contenham a reta r e sejam tangentes à esfera S.

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