Ache uma equação em x e y que tenha o mesmo gráfico da equação polar e use-a para auxiliar o traçado no plano- xy.
r=2 sen 3 theta

Passo 1

A questão pede para encontrar uma equação em $x$ e $y$ que gere o mesmo gráfico da equação polar x e usar essa forma cartesiana para ajudar no traçado. O conteúdo envolvido é conversão de coordenadas polares para cartesianas, junto com identidade trigonométrica para y. Vamos precisar das relações r^2 = x^2 + y^2 e $r^2 = x^2 + y^2$.

Passo 2

Para eliminar o sin(3theta), usamos a identidade trigonométrica
$$
\sin(3\theta) = 3\sin\theta - 4\sin^3\theta
$$
e a relação sin(3theta) = 3sintheta - 4sin^3theta .

Passo 3

Substituímos na equação polar:
Começamos com $r = 2\sin(3\theta)$ e aplicamos a identidade:
$$
r = 2\bigl(3\frac{y}{r} - 4\frac{y3}{r3}\bigr)
$$

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados por $r^3$ para eliminar denominadores:
$$
r^4 = 6y,r^2 - 8y^3
$$

Passo 5

Agora usamos $r^2 = x^2 + y^2$ e $r^4 = (r2)2 = (x^2 + y2)2$ para passar totalmente para $x$ e $y$:
$$
(x^2 + y2)2 = 6y(x^2 + y^2) - 8y^3
$$

Passo 6

Apenas resta desenvolver e organizar em forma polinomial:
$$
(x^2 + y2)2 - 6y(x^2 + y^2) + 8y^3 = 0
$$
Expandindo:
$$
x^4 + 2x2y2 + y^4 - 6x^2y + 2y^3 = 0
$$

Resposta

x^4 + 2x2y2 + y^4 - 6x^2y + 2y^3 = 0

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