Ache uma equação em
e
que tenha o mesmo gráfico da equação polar e use-a para auxiliar o traçado no plano-
.
Passo 1
A questão pede para encontrar uma equação em $x$ e $y$ que gere o mesmo gráfico da equação polar
e usar essa forma cartesiana para ajudar no traçado. O conteúdo envolvido é conversão de coordenadas polares para cartesianas, junto com identidade trigonométrica para
. Vamos precisar das relações
e $r^2 = x^2 + y^2$.
Passo 2
Para eliminar o
, usamos a identidade trigonométrica
$$
\sin(3\theta) = 3\sin\theta - 4\sin^3\theta
$$
\sin(3\theta) = 3\sin\theta - 4\sin^3\theta
$$
e a relação
.
Passo 3
Substituímos na equação polar:
Começamos com $r = 2\sin(3\theta)$ e aplicamos a identidade:
Começamos com $r = 2\sin(3\theta)$ e aplicamos a identidade:
$$
r = 2\bigl(3\frac{y}{r} - 4\frac{y3}{r3}\bigr)
$$
r = 2\bigl(3\frac{y}{r} - 4\frac{y3}{r3}\bigr)
$$
Passo 4
Multiplicamos ambos os lados por $r^3$ para eliminar denominadores:
$$
r^4 = 6y,r^2 - 8y^3
$$
r^4 = 6y,r^2 - 8y^3
$$
Passo 5
Agora usamos $r^2 = x^2 + y^2$ e $r^4 = (r2)2 = (x^2 + y2)2$ para passar totalmente para $x$ e $y$:
$$
(x^2 + y2)2 = 6y(x^2 + y^2) - 8y^3
$$
(x^2 + y2)2 = 6y(x^2 + y^2) - 8y^3
$$
Passo 6
Apenas resta desenvolver e organizar em forma polinomial:
$$
(x^2 + y2)2 - 6y(x^2 + y^2) + 8y^3 = 0
$$
(x^2 + y2)2 - 6y(x^2 + y^2) + 8y^3 = 0
$$
Expandindo:
$$
x^4 + 2x2y2 + y^4 - 6x^2y + 2y^3 = 0
$$
x^4 + 2x2y2 + y^4 - 6x^2y + 2y^3 = 0
$$
Resposta
x^4 + 2x2y2 + y^4 - 6x^2y + 2y^3 = 0