Calcule a integral.
integral 8 x(x^2+4)^3 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral 8x(x^2+4)^3,dx. O assunto é cálculo de integrais de funções racionais, e vamos precisar usar substituição para simplificar o integrando.

Passo 2

Escolhemos a substituição u = x^2 + 4. Então du = 2x,dx, ou seja, x,dx = tfrac12du. Multiplicando por 8, temos 8x,dx = 4,du.

Passo 3

Reescrevemos a integral em termos de u:
integral 8x(x^2+4)^3,dx = integral 4u^3,du = 4integral u^-3,du
Agora integramos potências de u:
4integral u^-3,du = 4cdot u^-2-2 + C = -2u^-2 + C

Passo 4

Voltando à variável original x, substituímos u = x^2 + 4 e obtemos:
-2u^-2 + C = -2(x^2+4)^2 + C

Resposta

-dfrac2(x^2+4)^2 + C

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