Ache as equações da reta l, ortogonal e concorrente com r e s, simultaneamente.
r:l x=t y=t z=t e s:l x=1+q y=1+q z=-q

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar as equações da reta que seja ortogonal e concorrente com as retas e simultaneamente. Isso envolve conhecimentos de Geometria Analítica, especialmente sobre retas no espaço tridimensional, vetores e condições de perpendicularidade e interseção. Para resolver, vamos precisar entender como representar retas em forma paramétrica, calcular vetores diretores e aplicar as condições de ortogonalidade e concorrência.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as equações das retas r:l x = t y = t z = t e s:l x = 1 + q y = 1 + q z = -q e :
Aqui, e são os parâmetros das retas. Podemos identificar os vetores diretores dessas retas:
  • Para : o vetor diretor é
  • Para : o vetor diretor é

Passo 3

Queremos que a reta vl cdot vr = 0 e vl cdot vs = 0 seja ortogonal a ambas a cdot 1 + b cdot 1 + c cdot 1 = 0 Rightarrow a + b + c = 0 (1) e a cdot 1 + b cdot 1 + c cdot (-1) = 0 Rightarrow a + b - c = 0 (2) . Isso significa que o vetor diretor da reta , digamos , deve satisfazer:
Onde representa o produto escalar. Calculando:

Passo 4

Agora, temos um sistema de equações:
  1. (a + b + c) - (a + b - c) = 0 - 0 Rightarrow 2c = 0 Rightarrow c = 0
  2. a + b + 0 = 0 Rightarrow a + b = 0 Rightarrow b = -a
Subtraindo a segunda equação da primeira:
vl = (1, -1, 0)
Substituindo na equação (1):
Então, o vetor diretor . Podemos escolher para simplificar:

Passo 5

Agora, precisamos que a reta x = t y = t z = t seja concorrente com x = 1 + q y = 1 + q z = -q e t = 1 + q (3) t = 1 + q (4) t = -q (5) , ou seja, que haja um ponto comum entre elas. Vamos supor que o ponto de interseção seja 1 + q = -q Rightarrow 2q = -1 Rightarrow q = -12 .
Primeiro, igualamos as equações paramétricas de t = 1 + (-12) = 12 e x = 12, y = 12, z = 12 para encontrar o ponto de interseção:
Para a reta :
Para a reta :
Igualando:
Das equações (3) e (5):
Substituindo na equação (3):
Então, o ponto de interseção é:

Passo 6

Agora que temos o ponto x = 12 + lambda cdot 1 y = 12 + lambda cdot (-1) z = 12 + lambda cdot 0 e o vetor diretor , podemos escrever a equação paramétrica da reta :
Onde é o parâmetro da reta .

Resposta

A equação paramétrica da reta l:l x = dfrac12 + lambda y = dfrac12 - lambda z = dfrac12 é:

Exercícios relacionados