Ache P(x, y, z) sobre r:cx-1=z y=1 sabendo que P equidista do plano Pi: 2 x+2 y+z+5=0 e do ponto A(-1,0,2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar o ponto que está sobre a reta definida por e . Além disso, esse ponto deve estar à mesma distância do plano e do ponto .
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, como a parametrização de uma reta, a fórmula da distância de um ponto a um plano e a distância entre dois pontos no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a reta x = 1 + t y = 1 z = t . Sabemos que e . Podemos usar um parâmetro para expressar as coordenadas de :
Então, qualquer ponto na reta pode ser escrito como .

Passo 3

Agora, precisamos calcular a distância de dplano = |Ax + By + Cz + D|raizA^2 + B^2 + C^2 ao plano dPi = |2(1 + t) + 2(1) + t + 5|raiz2^2 + 2^2 + 1^2 = |2 + 2t + 2 + t + 5|raiz4 + 4 + 1 = |5t + 9|3 . A fórmula para a distância de um ponto a um plano é:
Aplicando isso ao nosso caso, temos:

Passo 4

Em seguida, vamos calcular a distância entre dponto = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2 e o ponto dA = raiz( -1 - (1 + t))^2 + (0 - 1)^2 + (2 - t)^2 = raiz(-2 - t)^2 + (-1)^2 + (2 - t)^2 . A fórmula da distância entre dois pontos dA = raiz(t + 2)^2 + 1 + (t - 2)^2 = raiz(t^2 + 4t + 4) + 1 + (t^2 - 4t + 4) = raiz2t^2 + 9 e é:
Aplicando isso:
Simplificando:

Passo 5

Como |5t + 9|3 = raiz2t^2 + 9 está à mesma distância do plano |5t + 9| = 3raiz2t^2 + 9 e do ponto (5t + 9)^2 = 9(2t^2 + 9) , igualamos as duas distâncias:
25t^2 + 90t + 81 = 18t^2 + 81
Vamos eliminar o denominador multiplicando ambos os lados por 3:
Agora, elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz e o valor absoluto:
Expandindo:

Passo 6

Agora, vamos resolver a equação quadrática:
25t^2 + 90t + 81 - 18t^2 - 81 = 0 7t^2 + 90t = 0 t(7t + 90) = 0
Portanto, as soluções são:
t = 0 ou 7t + 90 = 0 Rightarrow t = -907

Passo 7

Vamos encontrar as coordenadas de P(1 + 0, 1, 0) = P(1, 1, 0) para cada valor de P(1 - 907, 1, -907) = P(-837, 1, -907) :
  1. Para :
  1. Para :

Resposta

Os pontos P(1, 1, 0) e P(-837, 1, -907) que satisfazem as condições são:

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