Ache uma estimativa para o erro cometido ao se fazer a aproximação
e^-1=14-1+12-19+14

Passo 1

O enunciado pede uma estimativa do erro ao aproximar
e^-1
pelo somatório finito
S4 = sumk=0^4 (-1)^kk! ;=; 1 - 1 + tfrac12 - tfrac16 + tfrac124
O conteúdo é a série de Taylor (ou Maclaurin) para e^x em x=-1 e o uso do teste da série alternada (ou o resto de Lagrange) para estimar o erro.

Passo 2

Escrevemos a expansão infinita
e^-1 ;=; sumk=0^infty (-1)^kk!
e identificamos que S4 é a soma dos primeiros cinco termos ( k=0,1,2,3,4), de modo que o erro restante é
R4 ;=; e^-1 - S4

Passo 3

Note que a série é alternada e os termos em módulo
ak = 1k!
são decrescentes para k>=0. Pelo teste da série alternada, o erro em tomar apenas os primeiros n+1 termos satisfaz
l|Rnr| ;<=; an+1
Aqui n=4, logo
l|R4r| ;<=; a5 ;=; 15!

Passo 4

Calculamos
5! = 120,
então
15! = 1120 approx 0,00833

Resposta

A estimativa para o erro satisfa z
l|e^-1 - S4r| <= 1120 approx 0,00833

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