Cada um dos exercícios 17-20 dá uma integral sobre uma região no plano cartesiano. Esboce a região e calcule a integral.
integral0^1 integral0^1-s^2 8 t d t d s (o plano st)

Passo 1

O enunciado nos dá a integral
integral0^1integral0^1-s^28,t,dt,ds
sobre uma região no plano st. Vamos precisar esboçar essa região, que é definida por
0<= s<=1, 0<= t<=1-s^2,
e em seguida calcular a integral dupla.

Passo 2

A região no plano st é delimitada por:
— o eixo s entre s=0 e s=1,
— o eixo t (onde t=0),
— a curva t=1-s^2, que é uma parábola invertida com vértice em (0,1) e que intercepta o eixo s em (1,0) e (-1,0).
Como estamos restritos a 0<= s<=1, a região é a “fatia” sob essa parábola entre s=0 e s=1.

Passo 3

Calculemos primeiro a integral interna em t:
integral0^1-s^28,t,dt =8[t^22]0^1-s^2 =4,(1-s^2)^2

Passo 4

Agora integramos em s:
integral0^14,(1-s^2)^2,ds =4integral0^1(1-2s^2+s^4),ds =4l[s-tfrac2s^33+tfracs^55r]0^1 =4l(1-tfrac23+tfrac15r) =tfrac3215

Resposta

A região é
(s,t)mid 0<= s<=1,;0<= t<=1-s^2,
e o valor da integral é 3215.

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