Determine as curvas de nível x=a, fazendo um esboço delas, da seguinte superfície:
x^2-1=z^2-4 y^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício de geometria analítica. A gente precisa encontrar as curvas de nível $ x = a $ para a superfície dada pela equação:
x = a
Isso significa que vamos fixar $ x $ em algum valor $ a $ e ver como a equação se comporta em relação a $ y $ e $ z $. Para isso, vamos precisar entender o que são curvas de nível e como trabalhar com equações quadráticas em duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são curvas de nível. Em geometria, uma curva de nível de uma função de duas variáveis é o conjunto de pontos onde a função assume um valor constante. No nosso caso, a função é a superfície definida por $ x^{2} - 1 = z^{2} - 4 y^{2} $ e queremos ver como ela se comporta quando $ x = a $.

Passo 3

Agora, substituímos $ x $ por $ a $ na equação da superfície:
x
Isso nos dá uma equação que relaciona $ y $ e $ z $ para cada valor fixo de $ a $.

Passo 4

Vamos rearranjar a equação para isolar $ z^{2} $:
z^2
Essa é a equação de uma cônica, especificamente uma hipérbole, já que temos termos quadráticos com sinais diferentes.

Passo 5

Para esboçar a curva, vamos analisar os diferentes casos para $ a $:
  1. Quando $ a^{2} - 1 > 0 $:
    A equação se torna:
    a
    Isso representa uma hipérbole aberta ao longo do eixo $ z $.
  2. Quando $ a^{2} - 1 = 0 $:
    A equação simplifica para:
    a^2 - 1 > 0
    Que é uma reta dupla, ou seja, duas linhas que passam pela origem com inclinação.
  3. Quando $ a^{2} - 1 < 0 $:
    A equação não tem solução real, pois $ z^{2} $ não pode ser negativo. Portanto, não existem curvas de nível para esses valores de $ a $.

Passo 6

Vamos resumir:
  • Para $ a > 1 $ ou $ a < -1 $, temos hipérboles.
  • Para $ a = 1 $ ou $ a = -1 $, temos linhas retas.
  • Para $ -1 < a < 1 $, não há curvas de nível reais.

Resposta

As curvas de nível $ x = a $ da superfície $ x^{2} - 1 = z^{2} - 4 y^{2} $ são hipérboles para $ |a| > 1 $, retas quando $ |a| = 1 $ e inexistem para $ |a| < 1 $. O esboço dessas curvas mostra hipérboles abertas ao longo do eixo $ z $ para $ a > 1 $ e $ a < -1 $, além de linhas retas nos casos de $ a = \pm1 $.

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