Determine as curvas de nível
, fazendo um esboço delas, da seguinte superfície:
Passo 1
Beleza, vamos resolver um exercício de geometria analítica. A gente precisa encontrar as curvas de nível $ x = a $ para a superfície dada pela equação:
Isso significa que vamos fixar $ x $ em algum valor $ a $ e ver como a equação se comporta em relação a $ y $ e $ z $. Para isso, vamos precisar entender o que são curvas de nível e como trabalhar com equações quadráticas em duas variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são curvas de nível. Em geometria, uma curva de nível de uma função de duas variáveis é o conjunto de pontos onde a função assume um valor constante. No nosso caso, a função é a superfície definida por $ x^{2} - 1 = z^{2} - 4 y^{2} $ e queremos ver como ela se comporta quando $ x = a $.
Passo 3
Agora, substituímos $ x $ por $ a $ na equação da superfície:
Isso nos dá uma equação que relaciona $ y $ e $ z $ para cada valor fixo de $ a $.
Passo 4
Vamos rearranjar a equação para isolar $ z^{2} $:
Essa é a equação de uma cônica, especificamente uma hipérbole, já que temos termos quadráticos com sinais diferentes.
Passo 5
Para esboçar a curva, vamos analisar os diferentes casos para $ a $:
-
Quando $ a^{2} - 1 > 0 $:
A equação se torna:Isso representa uma hipérbole aberta ao longo do eixo $ z $. -
Quando $ a^{2} - 1 = 0 $:
A equação simplifica para:Que é uma reta dupla, ou seja, duas linhas que passam pela origem com inclinação. -
Quando $ a^{2} - 1 < 0 $:
A equação não tem solução real, pois $ z^{2} $ não pode ser negativo. Portanto, não existem curvas de nível para esses valores de $ a $.
Passo 6
Vamos resumir:
- Para $ a > 1 $ ou $ a < -1 $, temos hipérboles.
- Para $ a = 1 $ ou $ a = -1 $, temos linhas retas.
- Para $ -1 < a < 1 $, não há curvas de nível reais.
Resposta
As curvas de nível $ x = a $ da superfície $ x^{2} - 1 = z^{2} - 4 y^{2} $ são hipérboles para $ |a| > 1 $, retas quando $ |a| = 1 $ e inexistem para $ |a| < 1 $. O esboço dessas curvas mostra hipérboles abertas ao longo do eixo $ z $ para $ a > 1 $ e $ a < -1 $, além de linhas retas nos casos de $ a = \pm1 $.