Nos exercícios 1-10, esboce a região de integração e calcule a integral.
integral1^4 integral0^raizx 32 e^y raizx d y d x

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a região
1 <= x <= 4, 0 <= y <= raizx
e calcular a integral
I = integral1^4integral0^raizx32e^yraizx,dy,dx
Aqui o conteúdo principal é cálculo de integrais duplas em coordenadas cartesianas e técnicas de integração iterada.

Passo 2

Esboço da região no plano xy:
  • A curva y = raizx parte de (0,0) e em x=4 atinge y=2.
  • O retângulo é cortado verticalmente por x=1 e x=4, e horizontalmente por y=0.
    Logo, é a “fatia” do gráfico y=raizx entre x=1 e x=4.

Passo 3

Integramos primeiro em y.
integral0^raizxe^yraizx,dy
fazendo a troca u=yraizx, isto é du=raizx,dy, obtemos
integral0^raizxe^yraizx,dy =1raizxl[e^yraizxr]0^raizx =e^x-1raizx
Multiplicando pelo fator tfrac32,
I=32integral1^4e^x-1raizx,dx

Passo 4

Para integral1^4(e^x-1)x^-1/2dx separamos em duas integrais:
integral1^4e^xraizx,dx;-;integral1^41raizx,dx
Na segunda temos
integral1^4x^-1/2dx =l[2raizxr]1^4 =2(2-1)=2
Na primeira fazemos x=u^2, dx=2u,du, com u de 1 a 2,
integral1^4e^xraizx,dx =2integral1^2e^u^2,du =2integral1^2e^u^2du
Logo
I=32l(2!integral1^2e^u^2du - 2r) =3integral1^2e^u^2du ;-,3

Passo 5

Reconhecemos que não tem primitiva elementar, mas pode ser expresso pela função erro imaginária :
Substituindo em , obtemos

Resposta

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