Tomando o valor de
em 0 igual a 1 e integrando uma série termo a termo, vamos demonstrar que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
O conteúdo que vamos usar é a expansão em série de Taylor de
aplicada a
, seguida de integração termo a termo.
Passo 2
Começamos escrevendo
Como a série de Taylor de
é
temos, para todo
,
Passo 3
Justificamos a troca de soma e integral por convergência absoluta no intervalo
e integrabilidade no entorno de
. Assim,
Passo 4
Para calcular
fazemos a troca de variável
, de modo que
,
, e os limites vão de
(
) até
(
). Logo,
Usando a fórmula do Gamma,
com
, obtemos
Passo 5
Voltando ao somatório,
Fazendo a mudança de índice
, isto é,
, conseguimos
que é exatamente o que queríamos demonstrar.