Tomando o valor de x^x em 0 igual a 1 e integrando uma série termo a termo, vamos demonstrar que
integral0^1 x^x d x=sumn=1^infty (-1)^n-1n^n

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
integral0^1 x^x,dx = sumn=1^infty(-1)^n-1n^n
O conteúdo que vamos usar é a expansão em série de Taylor de e^u aplicada a u = xln x, seguida de integração termo a termo.

Passo 2

Começamos escrevendo
x^x = e^xln x
Como a série de Taylor de e^u é
e^u = sumn=0^inftyu^nn!,
temos, para todo xin(0,1],
x^x = sumn=0^infty(xln x)^nn! = sumn=0^inftyx^n(ln x)^nn!

Passo 3

Justificamos a troca de soma e integral por convergência absoluta no intervalo (0,1] e integrabilidade no entorno de x=0. Assim,
integral0^1 x^x,dx = integral0^1sumn=0^inftyx^n(ln x)^nn!,dx = sumn=0^infty1n!integral0^1x^n(ln x)^n,dx

Passo 4

Para calcular
In = integral0^1x^n(ln x)^n,dx,
fazemos a troca de variável t = -ln x, de modo que x=e^-t, dx=-e^-tdt, e os limites vão de x=0 ( tto+infty) até x=1 ( t=0). Logo,
In = integralinfty^0e^-nt(-t)^n(-e^-tdt) = (-1)^nintegral0^inftyt^ne^-(n+1)t,dt
Usando a fórmula do Gamma,
integral0^inftyt^ne^-a t,dt = n!a^n+1,
com a=n+1, obtemos
In = (-1)^nn!(n+1)^n+1

Passo 5

Voltando ao somatório,
integral0^1 x^x,dx = sumn=0^infty1n!,In = sumn=0^infty(-1)^n(n+1)^n+1
Fazendo a mudança de índice m = n+1, isto é, n = m-1, conseguimos
sumn=0^infty(-1)^n(n+1)^n+1 = summ=1^infty(-1)^m-1m^m,
que é exatamente o que queríamos demonstrar.

Resposta

integral0^1 x^x,dx = sumn=1^infty(-1)^n-1n^n

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