Ache, se existirem, os autovalores e autovetores de A=[lll1 & -3 & 3 3 & -5 & 3 6 & -6 & 4] e B=[ll1 & -1 2 & -1].

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar os autovalores e autovetores das matrizes A e B . Isso está no campo da álgebra linear, especificamente lidando com autovalores e autovetores. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar os autovalores resolvendo o polinômio característico e, depois, usar esses autovalores para encontrar os autovetores correspondentes.

Passo 2

Vamos começar com a matriz A :
A = 1 & -3 & 3 3 & -5 & 3 6 & -6 & 4
Primeiro, precisamos encontrar os autovalores de A . Para isso, resolvemos a equação característica:
det(A - lambda I) = 0
onde I é a matriz identidade e lambda representa os autovalores.

Passo 3

Calculando A - lambda I :
A - lambda I = 1 - lambda & -3 & 3 3 & -5 - lambda & 3 6 & -6 & 4 - lambda
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz.

Passo 4

Calculando o determinante:
det(A - lambda I) = (1 - lambda)[(-5 - lambda)(4 - lambda) - (3)(-6)] - (-3)[3(4 - lambda) - 3(6)] + 3[3(-6) - (-5 - lambda)(6)]
Simplificando cada termo passo a passo.

Passo 5

Resolvendo cada parte:
  1. Primeiro termo:
(1 - lambda)[(-5 - lambda)(4 - lambda) + 18]
Expandindo:
(1 - lambda)[(-5)(4) -5(-lambda) - lambda(4) + lambda^2 + 18] = (1 - lambda)(-20 + 5lambda - 4lambda + lambda^2 + 18) = (1 - lambda)(lambda^2 + lambda - 2)
  1. Segundo termo:
+3[3(4 - lambda) - 18] = 3[12 - 3lambda - 18] = 3[-3lambda -6] = -9lambda -18
  1. Terceiro termo:
+3[ -18 + (5 + lambda)(6)] = 3[-18 + 30 + 6lambda] = 3[12 + 6lambda] = 36 + 18lambda

Passo 6

Somando todos os termos:
(1 - lambda)(lambda^2 + lambda - 2) -9lambda -18 + 36 + 18lambda
Distribuindo (1 - lambda) :
lambda^2 + lambda - 2 - lambda^3 - lambda^2 + 2lambda -9lambda -18 +36 +18lambda
Simplificando:
-lambda^3 + ( lambda^2 - lambda^2 ) + ( lambda + 2lambda -9lambda +18lambda ) + (-2 -18 +36) = -lambda^3 + 12lambda + 16

Passo 7

A equação característica fica:
-lambda^3 + 12lambda + 16 = 0 Rightarrow lambda^3 -12lambda -16 = 0
Vamos resolver essa equação cúbica para encontrar os autovalores.

Passo 8

Tentando possíveis raízes racionais pela Regra de Descartes:
Testando lambda = 2 :
2^3 -12(2) -16 = 8 -24 -16 = -32 neq 0
Testando lambda = 4 :
4^3 -12(4) -16 = 64 -48 -16 = 0 Rightarrow lambda = 4 é uma raiz é
Então, lambda = 4 é um autovalor.

Passo 9

Fatorando (lambda -4) da equação cúbica:
lambda^3 -12lambda -16 = (lambda -4)(lambda^2 +4lambda +4)
Agora, resolvemos lambda^2 +4lambda +4 =0 :
lambda = -4 pm raiz16 -162 = -42 = -2
Portanto, os autovalores de A são:
lambda1 = 4, lambda2 = -2 (com mu<iplicidade 2)

Passo 10

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para lambda = 4 :
Resolvemos (A -4I)v = 0 :
A -4I = -3 & -3 & 3 3 & -9 & 3 6 & -6 & 0
Resolvendo o sistema:
-3x -3y +3z =0 3x -9y +3z =0 6x -6y =0
Da terceira equação, x = y . Substituindo na primeira:
-3x -3x +3z =0 Rightarrow -6x +3z =0 Rightarrow z = 2x
Então, os autovetores para lambda =4 são multiplicadores de 1 1 2 .

Passo 11

Para lambda = -2 :
Resolvemos (A +2I)v = 0 :
A +2I = 3 & -3 & 3 3 & -3 & 3 6 & -6 &6
Observamos que todas as linhas são múltiplos, então temos apenas uma equação:
3x -3y +3z =0 Rightarrow x - y + z =0
Escolhendo y = t e z = s , então x = y - z = t - s .
Portanto, os autovetores são combinações de 1 1 0 e -1 0 1 .

Passo 12

Agora, vamos para a matriz B :
B = 1 & -1 2 & -1
Primeiro, encontramos os autovalores resolvendo det(B - lambda I) =0 .

Passo 13

Calculando B - lambda I :
B - lambda I = 1 - lambda & -1 2 & -1 - lambda
Calculando o determinante:
(1 - lambda)(-1 - lambda) - (-1)(2) = (-1 - lambda + lambda + lambda^2) +2 = lambda^2 -1 +2 = lambda^2 +1
Então, a equação característica é:
lambda^2 +1 =0 Rightarrow lambda = pm i
Portanto, os autovalores de B são lambda = i e lambda = -i .

Passo 14

Agora, vamos encontrar os autovetores para cada autovalor.
Para lambda = i :
Resolvemos (B -iI)v =0 :
B -iI = 1 -i & -1 2 & -1 -i
Escrevemos o sistema:
(1 -i)x - y =0 2x + (-1 -i)y =0
Da primeira equação, y = (1 -i)x .
Então, podemos escolher x =1 , então y =1 -i .
Portanto, o autovetor é 1 1 -i .

Passo 15

Para lambda = -i :
Resolvemos (B +iI)v =0 :
B +iI = 1 +i & -1 2 & -1 +i
Escrevemos o sistema:
(1 +i)x - y =0 2x + (-1 +i)y =0
Da primeira equação, y = (1 +i)x .
Escolhendo x =1 , temos y =1 +i .
Então, o autovetor é 1 1 +i .

Resposta

Os autovalores e seus respectivos autovetores são:
Para a matriz A :
  • Autovalor lambda1 = 4 com autovetor 1 1 2 .
  • Autovalor lambda2 = -2 com autovetores 1 1 0 e -1 0 1 .
Para a matriz B :
  • Autovalor lambda = i com autovetor 1 1 -i .
  • Autovalor lambda = -i com autovetor 1 1 +i .

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