Ache, se existirem, os autovalores e autovetores de
e B=[ll1 & -1 2 & -1] .
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar os autovalores e autovetores das matrizes
A e
B . Isso está no campo da álgebra linear, especificamente lidando com autovalores e autovetores. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar os autovalores resolvendo o polinômio característico e, depois, usar esses autovalores para encontrar os autovetores correspondentes.
Passo 2
Vamos começar com a matriz
A :
Primeiro, precisamos encontrar os autovalores de
A . Para isso, resolvemos a equação característica:
onde
I é a matriz identidade e
lambda representa os autovalores.
Passo 3
Calculando
A - lambda I :
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz.
Passo 4
Calculando o determinante:
Simplificando cada termo passo a passo.
Passo 5
Resolvendo cada parte:
- Primeiro termo:
Expandindo:
- Segundo termo:
- Terceiro termo:
Passo 6
Somando todos os termos:
Distribuindo
(1 - lambda) :
Simplificando:
Passo 7
A equação característica fica:
Vamos resolver essa equação cúbica para encontrar os autovalores.
Passo 8
Tentando possíveis raízes racionais pela Regra de Descartes:
Testando lambda = 2 :
Testando
Testando
lambda = 4 :
Então,
lambda = 4 é um autovalor.
Passo 9
Fatorando
(lambda -4) da equação cúbica:
Agora, resolvemos
lambda^2 +4lambda +4 =0 :
Portanto, os autovalores de
A são:
Passo 10
Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para
lambda = 4 :
Resolvemos (A -4I)v = 0 :
Resolvemos
Resolvendo o sistema:
Da terceira equação,
x = y . Substituindo na primeira:
Então, os autovetores para
lambda =4 são multiplicadores de
1 1 2 .
Passo 11
Para
lambda = -2 :
Resolvemos (A +2I)v = 0 :
Resolvemos
Observamos que todas as linhas são múltiplos, então temos apenas uma equação:
Escolhendo
y = t e
z = s , então
x = y - z = t - s .
Portanto, os autovetores são combinações de
1 1 0 e
-1 0 1 .
Passo 12
Agora, vamos para a matriz
B :
Primeiro, encontramos os autovalores resolvendo
det(B - lambda I) =0 .
Passo 13
Calculando
B - lambda I :
Calculando o determinante:
Então, a equação característica é:
Portanto, os autovalores de
B são
lambda = i e
lambda = -i .
Passo 14
Agora, vamos encontrar os autovetores para cada autovalor.
Para
lambda = i :
Resolvemos (B -iI)v =0 :
Resolvemos
Escrevemos o sistema:
Da primeira equação,
y = (1 -i)x .
Então, podemos escolher
x =1 , então
y =1 -i .
Portanto, o autovetor é
1 1 -i .
Passo 15
Para
lambda = -i :
Resolvemos (B +iI)v =0 :
Resolvemos
Escrevemos o sistema:
Da primeira equação,
y = (1 +i)x .
Escolhendo
x =1 , temos
y =1 +i .
Então, o autovetor é
1 1 +i .
Resposta
Os autovalores e seus respectivos autovetores são:
Para a matriz
A :
- Autovalor
com autovetorlambda1 = 4 .1 1 2 - Autovalor
com autovetoreslambda2 = -2 e1 1 0 .-1 0 1
Para a matriz
B :
- Autovalor
com autovetorlambda = i .1 1 -i - Autovalor
com autovetorlambda = -i .1 1 +i