Verifique se os operadores abaixo são diagonalizáveis. Caso afirmativo, escreva a matriz de T com relação a uma base de autovetores.
T: R^2 R^2 dado por T(x, y)=(4 x+4 y, x+4 y).

Passo 1

Então, a gente está vendo se o operador T que transforma (x, y) em (4x + 4y, x + 4y) é diagonalizável. Isso significa que conseguimos encontrar uma base de vetores que são autovetores de T , ou seja, vetores que só mudam de comprimento quando aplicamos T . Para isso, vamos precisar usar conceitos de autovalores e autovetores.

Passo 2

Primeiro, precisamos escrever a matriz de T . O operador T transforma (x, y) em (4x + 4y, x + 4y), então a matriz de T é:
A = 4 & 4 1 & 4

Passo 3

Agora, vamos encontrar os autovalores de A . Para isso, resolvemos a equação característica:
det(A - lambda I) = 0
Onde I é a matriz identidade e lambda é o autovalor.
det( 4 - lambda & 4 1 & 4 - lambda ) = (4 - lambda)^2 - 4 = 0
Simplificando:
(4 - lambda)^2 - 4 = 0 16 - 8lambda + lambda^2 - 4 = 0 lambda^2 - 8lambda + 12 = 0
Resolvendo essa equação quadrática:
lambda = 8 pm raiz64 - 482 = 8 pm raiz162 = 8 pm 42
Então, os autovalores são:
lambda1 = 6 e lambda2 = 2

Passo 4

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para lambda1 = 6 :
Resolvemos (A - 6I)v = 0
-2 & 4 1 & -2 v1 v2 = 0 0
Da primeira equação: -2v1 + 4v2 = 0 => v1 = 2v2
Podemos escolher v2 = 1 , então v1 = 2
Portanto, um autovetor para lambda1 = 6 é 2 1
Para lambda2 = 2 :
Resolvemos (A - 2I)v = 0
2 & 4 1 & 2 v1 v2 = 0 0
Da primeira equação: 2v1 + 4v2 = 0 => v1 = -2v2
Podemos escolher v2 = 1 , então v1 = -2
Portanto, um autovetor para lambda2 = 2 é -2 1

Passo 5

Como temos dois autovalores distintos e dois autovetores linearmente independentes, o operador T é diagonalizável. Agora, vamos montar a matriz de T na base formada por esses autovetores.
Primeiro, formamos a matriz P com os autovetores como colunas:
P = 2 & -2 1 & 1
A matriz diagonal D terá os autovalores na diagonal:
D = 6 & 0 0 & 2
Portanto, A = P D P^-1 , e a matriz de T na base de autovetores é D .

Resposta

O operador T é diagonalizável e a matriz de T na base de autovetores é
6 & 0 0 & 2

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