Verifique se os operadores abaixo são diagonalizáveis. Caso afirmativo, escreva a matriz de com relação a uma base de autovetores. dado por .
Passo 1
Então, a gente está vendo se o operador que transforma em é diagonalizável. Isso significa que conseguimos encontrar uma base de vetores que são autovetores de , ou seja, vetores que só mudam de comprimento quando aplicamos . Para isso, vamos precisar usar conceitos de autovalores e autovetores.
Passo 2
Primeiro, precisamos escrever a matriz de . O operador transforma em , então a matriz de é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os autovalores de A . Para isso, resolvemos a equação característica:
det(A - lambda I) = 0
Onde I é a matriz identidade e lambda é o autovalor.
Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para lambda1 = 6 :
Resolvemos (A - 6I)v = 0
-2 & 4 1 & -2 v1 v2 = 0 0
Da primeira equação: -2v1 + 4v2 = 0 => v1 = 2v2
Podemos escolher v2 = 1 , então v1 = 2
Portanto, um autovetor para lambda1 = 6 é 2 1
Para lambda2 = 2 :
Resolvemos (A - 2I)v = 0
2 & 4 1 & 2 v1 v2 = 0 0
Da primeira equação: 2v1 + 4v2 = 0 => v1 = -2v2
Podemos escolher v2 = 1 , então v1 = -2
Portanto, um autovetor para lambda2 = 2 é -2 1
Passo 5
Como temos dois autovalores distintos e dois autovetores linearmente independentes, o operador T é diagonalizável. Agora, vamos montar a matriz de T na base formada por esses autovetores.
Primeiro, formamos a matriz P com os autovetores como colunas:
P = 2 & -2 1 & 1
A matriz diagonal D terá os autovalores na diagonal:
D = 6 & 0 0 & 2
Portanto, A = P D P^-1 , e a matriz de T na base de autovetores é D .
Resposta
O operador T é diagonalizável e a matriz de T na base de autovetores é