Calcule os valores de m e n para que as retas abaixo sejam coplnares e perpendiculares.
c x=2-3 t y=1+n t z=4

Passo 1

O enunciado dá duas retas em R^3 e pede os parâmetros m e n de modo que as retas sejam coplanares e perpendiculares. O conteúdo envolve:
– extrair um ponto e o vetor diretor de cada reta;
– usar a condição de perpendicularidade (produto escalar nulo);
– usar a condição de coplanaridade (produto misto nulo).

Passo 2

Identificamos ponto e vetor diretor de cada reta.
Para
r: x=2-3t, y=1+nt, z=4,
podemos tomar
Pr=(2,1,4), vr=(-3,n,0)
Para
s:x-2m=y+31=z-13/2,
defina o parâmetro lambda igual a cada fração. Então
x=2+mlambda, y=-3+lambda, z=1+tfrac32lambda,
de onde
Ps=(2,-3,1), vs=(m,1,tfrac32)

Passo 3

Para que as retas sejam perpendiculares basta que
vrcdotvs=0
Calculando
(-3,n,0)cdot(m,1,tfrac32)=-3m+ncdot1+0cdottfrac32=-3m+n,
temos
-3m+n=0 Longrightarrow n=3m

Passo 4

Para que sejam coplanares, o vetor que liga Pr a Ps,
p=Ps-Pr=(2,-3,1)-(2,1,4)=(0,-4,-3),
deve satisfazer o produto misto zero:
l(vr,vs,pr)=0
Usamos vstimesp e em seguida o produto escalar com vr:
vstimesp =det i&j&k m&1&tfrac32 0&-4&-3 =(3,,3m,,-4m)
Então
vrcdot(vstimesp) =(-3,n,0)cdot(3,3m,-4m) =-3cdot3 + ncdot(3m) + 0 = -9+3mn
Impondo -9+3mn=0 resulta em
3mn=9 Longrightarrow mn=3

Passo 5

Já temos o sistema
n=3m, mn=3
Substituindo n=3m em mn=3
mcdot(3m)=3 Longrightarrow 3m^2=3 Longrightarrow m^2=1 Longrightarrow m=pm1
E então
n=3m ;Longrightarrow; m=1, n=3, m=-1, n=-3

Resposta

As retas são coplanares e perpendiculares se
(m,n)=(1,3) ou (m,n)=(-1,-3)

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