Verifique se os operadores abaixo são diagonalizáveis. Caso afirmativo, escreva a matriz de com relação a uma base de autovetores. dado por .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para verificar se o operador é diagonalizável e, se for, escrever a matriz de em relação a uma base de autovetores. Estamos lidando com transforme lineares em , então vamos precisar entender conceitos como autovalores, autovetores e diagonalização. A ideia é descobrir se conseguimos encontrar uma base composta por autovetores de , o que simplificaria bastante a matriz desse operador.
Passo 2
Primeiro, vamos representar o operador como uma matriz. Dado que , podemos escrever a matriz associada a :
Passo 3
Agora, precisamos encontrar os autovalores dessa matriz. Para isso, usamos a equação característica, que é dada por:
det(A - lambda I) = 0
Onde I é a matriz identidade e lambda representa os autovalores.
Então, o único autovalor da matriz A é lambda = 1, com multiplicidade 2.
Passo 6
Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a lambda = 1. Para isso, resolvemos (A - lambda I)v = 0:
0 & 1 0 & 0 v1 v2 = 0 0
Isso nos dá a equação 0 cdot v1 + 1 cdot v2 = 0, ou seja, v2 = 0. O v1 pode ser qualquer número real. Então, os autovetores são da forma v1 0 , onde v1 neq 0.
Passo 7
Para que T seja diagonalizável, a dimensão do espaço dos autovetores (espaço próprio) deve ser igual à multiplicidade do autovalor. Aqui, o autovalor lambda = 1 tem multiplicidade 2, mas só encontramos autovetores que formam uma linha (dimensão 1). Isso significa que não conseguimos uma base completa de autovetores.
Passo 8
Como não conseguimos encontrar uma base de autovetores que seja completa (ou seja, com duas direções independentes), concluímos que a matriz A não é diagonalizável.
Resposta
O operador T não é diagonalizável porque não possui uma base completa de autovetores.