Verifique se os operadores abaixo são diagonalizáveis. Caso afirmativo, escreva a matriz de T com relação a uma base de autovetores.
T: R^2 R^2 dado por T(x, y)=(x+y, y).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para verificar se o operador T é diagonalizável e, se for, escrever a matriz de T em relação a uma base de autovetores. Estamos lidando com transforme lineares em R^2, então vamos precisar entender conceitos como autovalores, autovetores e diagonalização. A ideia é descobrir se conseguimos encontrar uma base composta por autovetores de T, o que simplificaria bastante a matriz desse operador.

Passo 2

Primeiro, vamos representar o operador T como uma matriz. Dado que T(x, y) = (x + y, y), podemos escrever a matriz associada a T:
A = 1 & 1 0 & 1

Passo 3

Agora, precisamos encontrar os autovalores dessa matriz. Para isso, usamos a equação característica, que é dada por:
det(A - lambda I) = 0
Onde I é a matriz identidade e lambda representa os autovalores.

Passo 4

Vamos calcular a matriz A - lambda I:
A - lambda I = 1 - lambda & 1 0 & 1 - lambda
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
det(A - lambda I) = (1 - lambda)(1 - lambda) - (0)(1) = (1 - lambda)^2

Passo 5

Igualando o determinante a zero:
(1 - lambda)^2 = 0 implies lambda = 1
Então, o único autovalor da matriz A é lambda = 1, com multiplicidade 2.

Passo 6

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a lambda = 1. Para isso, resolvemos (A - lambda I)v = 0:
0 & 1 0 & 0 v1 v2 = 0 0
Isso nos dá a equação 0 cdot v1 + 1 cdot v2 = 0, ou seja, v2 = 0. O v1 pode ser qualquer número real. Então, os autovetores são da forma v1 0 , onde v1 neq 0.

Passo 7

Para que T seja diagonalizável, a dimensão do espaço dos autovetores (espaço próprio) deve ser igual à multiplicidade do autovalor. Aqui, o autovalor lambda = 1 tem multiplicidade 2, mas só encontramos autovetores que formam uma linha (dimensão 1). Isso significa que não conseguimos uma base completa de autovetores.

Passo 8

Como não conseguimos encontrar uma base de autovetores que seja completa (ou seja, com duas direções independentes), concluímos que a matriz A não é diagonalizável.

Resposta

O operador T não é diagonalizável porque não possui uma base completa de autovetores.

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