Ache os subespaços próprios associados aos autovalores de T: R^3 R^3 dado por T(x, y, z)=(x, y, 0). Dê uma base para casa subrespaço própio encontrado.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear T: R^3 R^3 definida por T(x, y, z) = (x, y, 0) . O objetivo é encontrar os subespaços próprios (também conhecidos como autospaces) associados aos autovalores dessa transformação e fornecer uma base para cada um desses subespaços. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de autovalores, autovetores e como encontrar os subespaços próprios utilizando matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores de T . Os autovalores são os scalars lambda que satisfazem a equação T(v) = lambda v para algum vetor não nulo v .
Para encontrar os autovalores, calculamos o polinômio característico de T , que é dado por det(T - lambda I) = 0 , onde I é a matriz identidade.
A matriz de T é:
T = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0
Então, T - lambda I fica:
T - lambda I = 1 - lambda & 0 & 0 0 & 1 - lambda & 0 0 & 0 & -lambda
Calculando o determinante:
det(T - lambda I) = (1 - lambda)^2 (-lambda) = 0
Resolvendo, temos os autovalores:
lambda = 1 (com mu<iplicidade 2) e lambda = 0

Passo 3

Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os subespaços próprios correspondentes a cada lambda .
Para lambda = 1 :
Queremos encontrar todos os vetores v = (x, y, z) tais que:
T(v) = 1 cdot v Rightarrow (x, y, 0) = (x, y, z)
Isso implica que:
0 = z Rightarrow z = 0
Então, os vetores próprios para lambda = 1 são todos da forma (x, y, 0) , onde x e y são números reais. Isso forma um subespaço bidimensional no R^3 .
Uma base para esse subespaço pode ser:
, (1, 0, 0), (0, 1, 0) ,
Para lambda = 0 :
Queremos encontrar todos os vetores v = (x, y, z) tais que:
T(v) = 0 cdot v Rightarrow (x, y, 0) = (0, 0, 0)
Isso implica que:
x = 0 e y = 0
Mas z pode ser qualquer número real. Então, os vetores próprios para lambda = 0 são todos da forma (0, 0, z) , onde z é real. Isso forma um subespaço unidimensional no R^3 .
Uma base para esse subespaço pode ser:
, (0, 0, 1) ,

Resposta

Os subespaços próprios associados aos autovalores de T são:
  • Para lambda = 1 :
E1 = span, (1, 0, 0), (0, 1, 0) ,
  • Para lambda = 0 :
E0 = span, (0, 0, 1) ,

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