Ache os subespaços próprios associados aos autovalores de : dado por . Dê uma base para casa subrespaço própio encontrado.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear definida por . O objetivo é encontrar os subespaços próprios (também conhecidos como autospaces) associados aos autovalores dessa transformação e fornecer uma base para cada um desses subespaços. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de autovalores, autovetores e como encontrar os subespaços próprios utilizando matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores de . Os autovalores são os scalars que satisfazem a equação para algum vetor não nulo .
Para encontrar os autovalores, calculamos o polinômio característico de , que é dado por , onde é a matriz identidade.
Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os subespaços próprios correspondentes a cada lambda .
Para lambda = 1 :
Queremos encontrar todos os vetores v = (x, y, z) tais que:
T(v) = 1 cdot v Rightarrow (x, y, 0) = (x, y, z)
Isso implica que:
0 = z Rightarrow z = 0
Então, os vetores próprios para lambda = 1 são todos da forma (x, y, 0) , onde x e y são números reais. Isso forma um subespaço bidimensional no R^3 .
Uma base para esse subespaço pode ser:
, (1, 0, 0), (0, 1, 0) ,
Para lambda = 0 :
Queremos encontrar todos os vetores v = (x, y, z) tais que:
T(v) = 0 cdot v Rightarrow (x, y, 0) = (0, 0, 0)
Isso implica que:
x = 0 e y = 0
Mas z pode ser qualquer número real. Então, os vetores próprios para lambda = 0 são todos da forma (0, 0, z) , onde z é real. Isso forma um subespaço unidimensional no R^3 .
Uma base para esse subespaço pode ser:
, (0, 0, 1) ,
Resposta
Os subespaços próprios associados aos autovalores de T são: