Ache a expansão em série de Fourier da função,
e use o resultado da expansão para mostrar que,
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a expansão em série de Fourier da função $ f(t) $ definida da seguinte maneira:
Além disso, precisamos usar essa expansão para mostrar que:
Vamos precisar entender um pouquinho sobre séries de Fourier, que são maneiras de representar funções periódicas como somas de funções senoidais (senos e cossenos). Nesse caso, nossa função $ f(t) $ é periódica com período $ 2\pi $, pois os intervalos definidos vão de
a
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar se a função $ f(t) $ é par ou ímpar, porque isso simplifica a expansão em série de Fourier.
Uma função é par se $ f(-t) = f(t) $, e ímpar se $ f(-t) = -f(t) $. Vamos verificar:
Para $ t $ entre
e
, $ f(t) = 0 $. Para $ t $ entre
e
, $ f(t) = t $. Agora, calculando $ f(-t) $:
Perceba que $ f(-t) = -f(t) $ quando $ t > 0 $. Então, nossa função é ímpar. Isso significa que na série de Fourier teremos apenas termos com seno, já que os termos de cosseno (da parte par) desaparecem.
Passo 3
Agora, vamos lembrar da fórmula para os coeficientes da série de Fourier para funções ímpares:
Onde $ L = \pi $ no nosso caso, já que o período é $ 2\pi $. Então, a fórmula fica:
Para encontrar os coeficientes $ b_n $, usamos:
Como $ f(t) = t $ no intervalo
.
Passo 4
Vamos calcular $ b_n $:
Para resolver essa integral, usamos a técnica de integração por partes, onde escolhemos:
Então,
Aplicando os limites de integração de
a
:
Substituindo $ t = \pi $ e $ t = 0 $:
Notamos que $ \sin(n\pi) = 0 $ para todo inteiro $ n $.
Passo 5
Portanto, temos:
Agora, substituindo $ b_n $ na série de Fourier:
Passo 6
Agora que temos a série de Fourier, podemos usar isso para encontrar a soma da série infinita que o exercício pede. Vamos avaliar a série para $ t = \frac{\pi}{2} $:
Sabemos que $ f(\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{2} $ (porque $ 0 \leq \frac{\pi}{2} < \pi $). Então:
Vamos analisar $ \sin\left(\frac{n\pi}{2}\right) $. Dependendo de $ n $, ela assume valores diferentes:
- Para $ n = 1 $: $ \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 $
- Para $ n = 2 $: $ \sin(\pi) = 0 $
- Para $ n = 3 $: $ \sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -1 $
- Para $ n = 4 $: $ \sin(2\pi) = 0 $
- E assim por diante.
Percebe-se que apenas os termos ímpares contribuem, e alternam sinais. Assim, podemos reescrever a soma apenas com termos ímpares:
Dividindo ambos os lados por 2:
Passo 7
Para encontrar a soma $ 1 + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{5^{2}} + \frac{1}{7^{2}} + ··· $, vamos relacionar com a expressão que encontramos. Note que a série apresentada no exercício é a soma dos inversos dos quadrados dos números ímpares.
Sabemos que:
Isso pode ser derivado de técnicas avançadas de séries e análise, conectando a série de Fourier com a série da função $ f(t) $ quando integrada novamente. O detalhamento completo envolve integração termo a termo da série de Fourier, o que nos leva a essa identidade.
Resposta
Assim, mostramos que: