Ache a expansão em série de McLaurin de e diga quanto vale o seu raio de convergência.
Passo 1
O enunciado pede a expansão em série de Maclaurin de
e o seu raio de convergência.
Aqui vamos usar o fato de que podemos expandir em série de potências e integrar termo a termo, pois essa expansão converge uniformemente em qualquer intervalo limitado.
Passo 2
Começamos pela expansão conhecida de :
Fazendo , obtemos
Passo 3
Agora integramos termo a termo de até :
Como , segue
Passo 4
A série de Maclaurin ficou
Passo 5
Para achar o raio de convergência , aplicamos o teste da razão ao termo geral , mas como só aparecem potências ímpares, podemos usar diretamente
Como o limite é zero para qualquer x, o raio de convergência é infinito.