Ache a expansão em série de McLaurin de f(x)=integral0^x e^-2 t^2 d t e diga quanto vale o seu raio de convergência.

Passo 1

O enunciado pede a expansão em série de Maclaurin de
f(x)=integral0^xe^-2t^2,dt
e o seu raio de convergência.
Aqui vamos usar o fato de que podemos expandir e^-2t^2 em série de potências e integrar termo a termo, pois essa expansão converge uniformemente em qualquer intervalo limitado.

Passo 2

Começamos pela expansão conhecida de e^u:
e^u=sumn=0^inftyu^nn!
Fazendo u=-2t^2, obtemos
e^-2t^2=sumn=0^infty(-2t^2)^nn! =sumn=0^infty(-2)^nn!,t^2n

Passo 3

Agora integramos termo a termo de t=0 até t=x:
f(x)=integral0^xe^-2t^2,dt =integral0^xsumn=0^infty(-2)^nn!,t^2n,dt =sumn=0^infty(-2)^nn!integral0^xt^2n,dt
Como integral0^xt^2n,dt=x^2n+12n+1, segue
f(x)=sumn=0^infty(-2)^nn!,(2n+1),x^2n+1

Passo 4

A série de Maclaurin ficou
f(x)=sumn=0^infty(-2)^nn!,(2n+1),x^2n+1

Passo 5

Para achar o raio de convergência R, aplicamos o teste da razão ao termo geral
anx^n, mas como só aparecem potências ímpares, podemos usar diretamente
|an+1x^2(n+1)+1anx^2n+1| =2n+1,2n+12n+3,x^2 ;xrightarrow[ntoinfty];0para todo (x)
Como o limite é zero para qualquer x, o raio de convergência é infinito.

Resposta

f(x)=sumn=0^infty(-2)^nn!,(2n+1),x^2n+1
O raio de convergência é R=infty.

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