calcule, se existir.
lim (x, y) (3,1) x^2 y-6 x y-x^2+6 x+9 y-9(x-3)^4+(y-1)^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o limite da função
lim(x, y) (3,1) x^2 y - 6xy - x^2 + 6x + 9y - 9(x-3)^4 + (y-1)^2
Esse tipo de problema faz parte de Limites de Funções de Duas Variáveis. Para resolver, vamos precisar simplificar a expressão e verificar se o limite existe analisando diferentes caminhos que chegam ao ponto (3,1).

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no numerador:
x^2 y - 6xy - x^2 + 6x + 9y - 9
Podemos fatorar esse numerador de maneira mais simples. Observa que temos termos com y e sem y:
  • x^2 y - 6xy pode ser fatorado como xy(x - 6),
  • -x^2 + 6x pode ser fatorado como -x(x - 6),
  • 9y - 9 pode ser fatorado como 9(y - 1).
Mas vamos tentar fatorar de forma mais eficaz agrupando termos semelhantes.

Passo 3

Vamos reorganizar o numerador:
x^2 y - x^2 - 6xy + 6x + 9y - 9 = x^2(y - 1) - 6x(y - 1) + 9(y - 1)
Agora, fatorando (y - 1):
(y - 1)(x^2 - 6x + 9)
Notamos que x^2 - 6x + 9 é um quadrado perfeito:
x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2
Então, o numerador fica:
(y - 1)(x - 3)^2

Passo 4

Agora, substituímos de volta na expressão do limite:
lim(x, y) (3,1) (y - 1)(x - 3)^2(x-3)^4 + (y-1)^2
É uma boa ideia mudar de variável para simplificar. Vamos definir:
  • a = x - 3,
  • b = y - 1.
Assim, quando (x, y) (3,1), (a, b) (0,0). A expressão fica:
lim(a, b) (0,0) b a^2a^4 + b^2

Passo 5

Para determinar se esse limite existe, precisamos verificar se ele dá o mesmo valor independente do caminho que escolhemos para chegar a (0,0). Vamos testar alguns caminhos diferentes.
Caminho 1: Vamos assumir que b = k a^2, onde k é uma constante.
Substituindo na expressão:
k a^2 cdot a^2a^4 + (k a^2)^2 = k a^4a^4 + k^2 a^4 = k1 + k^2
O resultado depende do valor de k! Por exemplo:
  • Se k = 1, o limite é 12.
  • Se k = -1, o limite é -12.
Caminho 2: Agora, vamos tentar a = 0, ou seja, manter x = 3.
Substituindo a = 0:
b cdot 00 + b^2 = 0
Caminho 3: Vamos tentar b = 0, ou seja, manter y = 1.
Substituindo b = 0:
0 cdot a^2a^4 + 0 = 0

Passo 6

Como vimos, dependendo do caminho escolhido, o limite pode variar:
  • Por b = k a^2, o limite pode ser qualquer valor entre -12 e 12.
  • Por a = 0 ou b = 0, o limite é 0.
Isso significa que o limite não é o mesmo em todos os caminhos. Portanto, o limite não existe.

Resposta

O limite não existe.

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