calcule, se existir.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o limite da função
Esse tipo de problema faz parte de Limites de Funções de Duas Variáveis. Para resolver, vamos precisar simplificar a expressão e verificar se o limite existe analisando diferentes caminhos que chegam ao ponto
.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada no numerador:
Podemos fatorar esse numerador de maneira mais simples. Observa que temos termos com
e sem
:
-
pode ser fatorado como , -
pode ser fatorado como , -
pode ser fatorado como .
Mas vamos tentar fatorar de forma mais eficaz agrupando termos semelhantes.
Passo 3
Vamos reorganizar o numerador:
Agora, fatorando
:
Notamos que
é um quadrado perfeito:
Então, o numerador fica:
Passo 4
Agora, substituímos de volta na expressão do limite:
É uma boa ideia mudar de variável para simplificar. Vamos definir:
-
, -
.
Assim, quando
,
. A expressão fica:
Passo 5
Para determinar se esse limite existe, precisamos verificar se ele dá o mesmo valor independente do caminho que escolhemos para chegar a
. Vamos testar alguns caminhos diferentes.
Caminho 1: Vamos assumir que
, onde
é uma constante.
Substituindo na expressão:
O resultado depende do valor de
! Por exemplo:
- Se
, o limite é . - Se
, o limite é .
Caminho 2: Agora, vamos tentar
, ou seja, manter
.
Substituindo
:
Caminho 3: Vamos tentar
, ou seja, manter
.
Substituindo
:
Passo 6
Como vimos, dependendo do caminho escolhido, o limite pode variar:
- Por
, o limite pode ser qualquer valor entre e . - Por
ou , o limite é .
Isso significa que o limite não é o mesmo em todos os caminhos. Portanto, o limite não existe.
Resposta
O limite não existe.