Determinar se é contínua no ponto onde

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificar se a função f(x, y) é contínua no ponto (0,0) . A matéria aqui é sobre continuidade de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua em um ponto e calcular o limite da função conforme (x, y) se aproxima de (0,0) .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é continuidade em um ponto. Uma função f(x, y) é contínua no ponto (a, b) se o limite de f(x, y) quando (x, y) se aproxima de (a, b) é igual a f(a, b) . Ou seja:
lim(x,y) to (a,b) f(x,y) = f(a,b)
No nosso caso, queremos verificar se:
lim(x,y) to (0,0) f(x,y) = f(0,0) = 0

Passo 3

Vamos analisar a função [f(x, y)) dada:
Para facilitar os cálculos, vamos usar coordenadas polares, onde , com . Assim, a função fica:

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite de f(r, theta) quando r to 0 :
limr to 0 ( cos theta cos r - sin^2(r cos theta)r^2 )
Sabemos que cos r approx 1 - r^22 quando r é pequeno, então:
cos theta cos r approx cos theta (1 - r^22) approx cos theta
Além disso, usando a aproximação sin z approx z para z pequeno:
sin^2(r cos theta) approx (r cos theta)^2 = r^2 cos^2 theta
Portanto:
sin^2(r cos theta)r^2 approx r^2 cos^2 thetar^2 = cos^2 theta
Substituindo de volta no limite:
limr to 0 ( cos theta - cos^2 theta ) = cos theta - cos^2 theta

Passo 5

Observamos que o resultado do limite depende de theta . Isso significa que o valor do limite pode mudar dependendo da direção pela qual (x, y) se aproxima de (0,0) . Por exemplo:
  • Se theta = 0 (aproximando-se ao longo do eixo x ):
cos 0 - cos^2 0 = 1 - 1 = 0
  • Se theta = pi4 (aproximando-se pela linha y = x ):
cos pi4 - cos^2 pi4 = raiz22 - (raiz22)^2 = raiz22 - 12 neq 0
Como o limite depende da direção theta , ele não é único.

Resposta

Como o limite de f(x, y) quando (x, y) se aproxima de (0,0) depende da direção de aproximação e não é único, concluímos que f não é contínua no ponto (0,0) .

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