Ache a expansão em série de McLaurin de f(x)=integral0^x cos (t^2) d t e diga quanto vale o seu raio de convergência.

Passo 1

O enunciado pede a série de McLaurin de
f(x)=integral0^xcosl(t^2r),dt
e o seu raio de convergência.
Conteúdo: desenvolvimento em série de potências (Taylor–McLaurin), integração termo a termo e teste da razão para encontrar o raio.

Passo 2

Começamos pela expansão de McLaurin de cos(u), com u=t^2:
cos(u)=sumn=0^infty(-1)^n(2n)!,u^2n Longrightarrow cosl(t^2r)=sumn=0^infty(-1)^n(2n)!,t^4n

Passo 3

Integramos termo a termo de t=0 até t=x:
integral0^xt^4n,dt =x^4n+14n+1
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f(x) =integral0^xcosl(t^2r),dt =sumn=0^infty(-1)^n(2n)!,x^4n+14n+1 =sumn=0^infty(-1)^n(2n)!,(4n+1),x^4n+1

Passo 4

Para o raio de convergência R aplicamos o teste da razão a anx^n. Como só há potências de ordem 4n+1, examinamos
l|an+1x^4(n+1)+1anx^4n+1r| =l|xr|^4, 4n+14n+5, 1(2n+2)(2n+1) ;xrightarrow[ntoinfty];0
para todo x. Portanto o raio de convergência é infinito.

Resposta

f(x)=sumn=0^infty(-1)^n(2n)!,(4n+1),x^4n+1,
com raio de convergência R=infty.

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