Determine o intervalo de convergência da série de potências F(x)=sumn=1^infty x^2 nn^2 3^n

Passo 1

O enunciado dá a série de potências
F(x)=sumn=1^inftyx^2nn^23^n
e pede o intervalo de convergência. Este é um problema de raio de convergência de séries de potências; vamos usar o teste da raiz para encontrar o raio e em seguida testar os pontos finais.

Passo 2

Aplicamos o teste da raiz à sequência dos termos
an=x^2nn^23^n
Calculamos
limntoinftyraiz[n]l|anr| =limntoinfty|x|^23,1(n^2)^1/n =|x|^23cdot1 =|x|^23
Pelo teste da raiz, a série converge se
|x|^23<1 Long<=ftrightarrow |x|^2<3 Long<=ftrightarrow |x|<raiz3
Logo o raio de convergência é R=raiz3.

Passo 3

Agora testamos os extremos x=pmraiz3. Nesse caso
x^2n=(raiz3)^2n=3^n,
então o termo geral fica
x^2nn^23^n =3^nn^23^n =1n^2
A série correspondente é
sumn=1^infty1n^2,
que é uma série p- com p=2>1 e, portanto, converge.

Resposta

O intervalo de convergência de F(x) é
boxed[-raiz3,,raiz3]

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