Ache a expansão em série de McLaurin de f(x)=integral0^x 23+t^2 d t e diga quanto vale o seu raio de convergência.

Passo 1

O enunciado pede a série de McLaurin de
f(x)=integral0^x23+t^2,dt
e o seu raio de convergência. Para isso, vamos expandir o integrando em série geométrica e depois integrar termo a termo.

Passo 2

Escrevendo o integrando como série geométrica:
23+t^2 = 23,11 + t^23 = 23sumk=0^infty(-1)^kl(t^23r)^k = sumk=0^infty2(-1)^k3^,k+1,t^2k
Essa expansão vale sempre que l|t^2/3r|<1.

Passo 3

Agora integramos termo a termo de 0 a x:
f(x) = integral0^xsumk=0^infty2(-1)^k3^,k+1,t^2k,dt = sumk=0^infty2(-1)^k3^,k+1integral0^xt^2k,dt = sumk=0^infty2(-1)^k3^,k+1x^2k+12k+1

Passo 4

O raio de convergência vem da condição da série geométrica original, isto é
l|t^2/3r|<1Longrightarrow |t|<raiz3,
e a integração não altera esse raio. Logo R=raiz3.

Resposta

f(x)=sumk=0^infty2(-1)^k(2k+1),3^,k+1,x^2k+1, R=raiz3

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