Determinar todos os pontos em que h é contínua se
h(x, y)=ln (x y-1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar todos os pontos onde a função h(x, y) = ln(xy - 1) é contínua. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo que envolvem funções logarítmicas e suas condições de definição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função logarítmica natural, ln(z) , só está definida quando o argumento z é maior que zero. Ou seja, z > 0 . No nosso caso, o argumento é xy - 1 .

Passo 3

Então, para que h(x, y) = ln(xy - 1) seja definida, precisamos que:
xy - 1 > 0

Passo 4

Vamos resolver essa inequação para encontrar as condições sobre x e y :
xy - 1 > 0 xy > 1

Passo 5

A inequação xy > 1 nos diz que o produto de x e y deve ser maior que 1 para que a função h(x, y) seja contínua. Isso define uma região no plano xy onde a função existe e, consequentemente, é contínua.

Passo 6

Portanto, todos os pontos (x, y) que satisfazem xy > 1 são os pontos onde a função h é contínua. Fora dessa região, a função não está definida e, portanto, não é contínua.

Resposta

A função h(x, y) = ln(xy - 1) é contínua em todos os pontos (x, y) do plano onde xy > 1 .

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