Ache a expansão em série de Taylor de f(x)=12 x-x^2 em volta de x=1 e diga quanto vale o seu raio de convergência.

Passo 1

O enunciado pede a série de Taylor de
f(x)=12x-x^2
em torno de x=1, e seu raio de convergência. Vamos usar a mudança de variável
h = x - 1,
para reescrever f como uma função de h e depois aplicar a série geométrica.

Passo 2

Substituindo x=1+h em f(x) temos
f(1+h)=12(1+h)-(1+h)^2 =12+2h-(1+2h+h^2) =11 - h^2

Passo 3

Lembrando que, para |z|<1, vale a série geométrica
11-z=sumn=0^inftyz^n,
podemos tomar z=h^2 e obter
11-h^2=sumn=0^infty(h^2)^n =sumn=0^inftyh^2n

Passo 4

Voltando a x, com h=x-1, concluímos
f(x)=sumn=0^infty(x-1)^2n

Passo 5

A condição de convergência da série geométrica sum (h^2)^n é |h^2|<1, isto é |h|<1. Logo o raio de convergência em torno de x=1 é
R=1

Resposta

f(x)=sumn=0^infty(x-1)^2n, R=1

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