Ache a expansão em série de Taylor de f(x)=4x^2+4 x em volta de x=-2 e diga quanto vale o seu raio de convergência.

Passo 1

O enunciado pede a série de Taylor de
f(x)=4x^2+4x
em torno de x0=-2 e o raio de convergência. Vamos usar mudança de variável para centrar em -2 e depois aplicar a expansão da série geométrica.

Passo 2

Defina
t = x + 2,
então x = t - 2. Substituindo no denominador,
x^2+4x = (t-2)^2 + 4(t-2) = t^2 -4t +4 +4t -8 = t^2 -4
Logo
f(x) = 4t^2-4

Passo 3

Escrevemos em forma de série geométrica:
4t^2-4 = -44 - t^2 = -11 - tfract^24

Passo 4

Para l|tfract^24r|<1 vale a série geométrica
11 - tfract^24 = sumn=0^inftyl(tfract^24r)^n,
então
f(x) = -sumn=0^inftyl(tfract^24r)^n = -sumn=0^inftyt^2n4^n

Passo 5

Voltando a x com t = x+2,
f(x) = -sumn=0^infty(x+2)^2n4^n,
e a condição de convergência l|tfract^24r|<1 vira lvert x+2rvert<2. Logo o raio de convergência é R=2.

Resposta

f(x) = -sumn=0^infty(x+2)^2n4^n, R = 2

Exercícios relacionados