Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para mostrar que a função
f(x, y)=rrr 1-cos (x-y)x-y, & se & x neq y 0, & se & x=y
é contínua em R^2. Isso envolve o estudo de continuidade de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua em todos os pontos do plano e como calcular limites em funções de várias variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade em R^2. Uma função f(x, y) é contínua em todo o plano se, para qualquer ponto (a, b), o limite de f(x, y) quando (x, y) se aproxima de (a, b) é igual a f(a, b) . Em termos matemáticos:
lim(x,y) to (a,b) f(x,y) = f(a,b)
Passo 3
Vamos analisar dois casos para a nossa função f(x, y) :
Quando x neq y :
Aqui, a função é 1 - cos(x - y)x - y . Sabemos que tanto o cosseno quanto as operações de adição e divisão são funções contínuas onde definidas. Portanto, para x neq y , f(x, y) é contínua porque é uma composição de funções contínuas.
Quando x = y :
Neste caso, a função é definida como 0 . Precisamos verificar se o limite de f(x, y) quando (x, y) se aproxima de (a, a) é igual a 0 .
Passo 4
Para o segundo caso, vamos calcular o limite:
lim(x,y) to (a,a) 1 - cos(x - y)x - y
Vamos fazer uma mudança de variável: seja u = x - y . Então, quando (x, y) se aproxima de (a, a), u se aproxima de 0 .
Então, o limite fica:
limu to 0 1 - cos uu
Passo 5
Sabemos de cálculo que:
limu to 0 1 - cos uu = 0
Isso porque, próximo de u = 0 , a função 1 - cos u se comporta como u^22 , então:
1 - cos uu approx u^22u = u2 to 0 quando u to 0
Passo 6
Como o limite quando (x, y) to (a, a) é 0 , que é exatamente o valor de f(a, a) , concluímos que a função é contínua no ponto (a, a).
Passo 7
Como mostramos que f(x, y) é contínua tanto quando x neq y quanto quando x = y , podemos afirmar que f(x, y) é contínua em todo o R^2.