Dada a função f(x, y, z)=e^x^3 y^4 z^5 calcule partial f(x, y, z) / partial x, partial f(x, y, z) / partial y e partial f(x, y, z) / partial z.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função f(x, y, z) = e^x^3 y^4 z^5 e precisa encontrar as derivadas parciais dessa função em relação a x , y e z . Isso faz parte do estudo de Cálculo Diferencial, especificamente sobre derivadas parciais. Para resolver isso, vamos usar a Regra da Cadeia, que é essencial quando temos funções compostas como essa.

Passo 2

Vamos começar encontrando a derivada parcial de f em relação a x , ou seja, partial fpartial x .
Primeiro, identifique a função externa e a interna. Aqui, a função externa é e^u , onde u = x^3 y^4 z^5 . Segundo, pela Regra da Cadeia, a derivada de e^u em relação a x é e^u vezes a derivada de u em relação a x .
Então:
partial fpartial x = e^x^3 y^4 z^5 cdot partialpartial x(x^3 y^4 z^5)
Agora, derivamos u = x^3 y^4 z^5 em relação a x . Como y e z são constantes em relação a x :
partial upartial x = 3x^2 y^4 z^5
Portanto:
partial fpartial x = e^x^3 y^4 z^5 cdot 3x^2 y^4 z^5

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de f em relação a y , ou seja, partial fpartial y .
Novamente, identificamos a função externa e^u com u = x^3 y^4 z^5 . Aplicando a Regra da Cadeia:
partial fpartial y = e^x^3 y^4 z^5 cdot partialpartial y(x^3 y^4 z^5)
Derivando u em relação a y :
partial upartial y = x^3 cdot 4y^3 z^5 = 4x^3 y^3 z^5
Então:
partial fpartial y = e^x^3 y^4 z^5 cdot 4x^3 y^3 z^5

Passo 4

Por fim, vamos encontrar a derivada parcial de f em relação a z , ou seja, partial fpartial z .
Mantendo a mesma abordagem, com u = x^3 y^4 z^5 :
partial fpartial z = e^x^3 y^4 z^5 cdot partialpartial z(x^3 y^4 z^5)
Derivando u em relação a z :
partial upartial z = x^3 y^4 cdot 5z^4 = 5x^3 y^4 z^4
Assim, temos:
partial fpartial z = e^x^3 y^4 z^5 cdot 5x^3 y^4 z^4

Resposta

As derivadas parciais da função f(x, y, z) = e^x^3 y^4 z^5 são:
partial fpartial x = 3x^2 y^4 z^5 cdot e^x^3 y^4 z^5
partial fpartial y = 4x^3 y^3 z^5 cdot e^x^3 y^4 z^5
partial fpartial z = 5x^3 y^4 z^4 cdot e^x^3 y^4 z^5

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