Ache a expansão em série de Taylor de
em volta de
e diga quanto vale o seu raio de convergência.
Passo 1
O enunciado pede a expansão em série de Taylor de
em torno de
e o raio de convergência dessa série.
Para isso vamos usar mudança de variável para centrar em e a série conhecida de
.
Para isso vamos usar mudança de variável para centrar em
Passo 2
Definimos a nova variável
Então
e portanto
Passo 3
Lembramos a expansão em série de Taylor (centro em
) para
:
válida para
.
Passo 4
Aplicamos essa fórmula com
. Assim
Voltando a
, temos
Passo 5
A condição de convergência da série de
é
. Aqui
, logo
Portanto o raio de convergência em torno de
é
.