Ache a expansão em série de Taylor de f(x)=ln (x^2-2 x+2) em volta de x=1 e diga quanto vale o seu raio de convergência.

Passo 1

O enunciado pede a expansão em série de Taylor de
f(x)=lnl(x^2-2x+2r)
em torno de x=1 e o raio de convergência dessa série.
Para isso vamos usar mudança de variável para centrar em x=1 e a série conhecida de ln(1+z).

Passo 2

Definimos a nova variável
u = x - 1
Então
x^2 - 2x + 2 = (x-1)^2 + 1 = u^2 + 1,
e portanto
f(x)=lnl(u^2+1r)=lnl(1+u^2r)

Passo 3

Lembramos a expansão em série de Taylor (centro em z=0) para ln(1+z):
ln(1+z)=sumn=1^infty(-1)^n+1,z^nn,
válida para |z|<1.

Passo 4

Aplicamos essa fórmula com z=u^2. Assim
lnl(1+u^2r) =sumn=1^infty(-1)^n+1,(u^2)^nn =sumn=1^infty(-1)^n+1,u^2nn
Voltando a x, temos
f(x)=sumn=1^infty(-1)^n+1,(x-1)^2nn

Passo 5

A condição de convergência da série de ln(1+z) é |z|<1. Aqui z=u^2=(x-1)^2, logo
|(x-1)^2|<1Longrightarrow |x-1|<1
Portanto o raio de convergência em torno de x=1 é R=1.

Resposta

boxed,lnl(x^2-2x+2r) =sumn=1^infty(-1)^n+1,(x-1)^2nn, |x-1|<1,;R=1

Exercícios relacionados