Verifique que
\int e^{2 x} \cos \left(e^{2 x}\right) d x=\frac{1}{2} \sin \left(e^{2 x}\right)+c

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos que verificar se a integral de e^2x cos(e^2x) , dx é igual a 12 sin(e^2x) + C . Para resolver isso, vamos precisar usar o método de substituição em cálculo integral, que é uma técnica para simplificar integrais encontrando uma função dentro da integral que podemos substituir por uma nova variável.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que pode ser substituída por uma nova variável. Observando a função e^2x cos(e^2x) , percebemos que e^2x aparece dentro do cosseno e também está sendo multiplicado pela função. Isso sugere que podemos fazer a substituição u = e^2x .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de u em relação a x para substituir dx na integral. Se u = e^2x , então dudx = 2e^2x . Isso significa que du = 2e^2x , dx , ou rearranjando, dx = du2e^2x .

Passo 4

Substituindo u e dx na integral original, temos:
integral e^2x cos(e^2x) , dx = integral e^2x cos(u) cdot du2e^2x = 12 integral cos(u) , du
Aqui, os e^2x se cancelam, simplificando a integral.

Passo 5

Agora, vamos integrar cos(u) em relação a u :
12 integral cos(u) , du = 12 sin(u) + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Finalmente, voltamos à variável original substituindo u por e^2x :
12 sin(u) + C = 12 sin(e^2x) + C

Resposta

Portanto, verificamos que:
integral e^2x cos(e^2x) , dx = 12 sin(e^2x) + C

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