Verifique que
\int e^{2 x} \cos \left(e^{2 x}\right) d x=\frac{1}{2} \sin \left(e^{2 x}\right)+c
\int e^{2 x} \cos \left(e^{2 x}\right) d x=\frac{1}{2} \sin \left(e^{2 x}\right)+c
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos que verificar se a integral de
é igual a
. Para resolver isso, vamos precisar usar o método de substituição em cálculo integral, que é uma técnica para simplificar integrais encontrando uma função dentro da integral que podemos substituir por uma nova variável.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que pode ser substituída por uma nova variável. Observando a função
, percebemos que
aparece dentro do cosseno e também está sendo multiplicado pela função. Isso sugere que podemos fazer a substituição
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
para substituir
na integral. Se
, então
. Isso significa que
, ou rearranjando,
.
Passo 4
Substituindo
e
na integral original, temos:
Aqui, os
se cancelam, simplificando a integral.
Passo 5
Agora, vamos integrar
em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Finalmente, voltamos à variável original substituindo
por
:
Resposta
Portanto, verificamos que: