Calcule a derivada direcional da função
no ponto
e na direção que vai deste ponto ao ponto
.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão pede. Precisamos calcular a derivada direcional da função
no ponto
na direção que vai desse ponto até
. Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de derivada direcional, encontrar o gradiente da função e determinar a direção correta para o cálculo.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o vetor que representa a direção da qual queremos calcular a derivada. Esse vetor vai do ponto
até o ponto
. Subtraindo as coordenadas:
Para utilizar na derivada direcional, precisamos desse vetor na forma unitária, ou seja, com comprimento 1. Calculamos o comprimento de
:
Então, o vetor unitário
é:
Passo 3
Agora, vamos calcular o gradiente da função
no ponto
. O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de
em relação a
e
.
Calculando as derivadas parciais:
No ponto
:
Portanto, o gradiente de
no ponto
é:
Passo 4
A derivada direcional de
na direção de
é dada pelo produto escalar do gradiente de
pelo vetor unitário
:
Resposta
A derivada direcional de
no ponto
na direção da reta que vai até
é
.