Calcule a derivada direcional da função f(x, y)=x^3-x y-2 y^2 no ponto (1,2) e na direção que vai deste ponto ao ponto (4,6).

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão pede. Precisamos calcular a derivada direcional da função f(x, y) = x^3 - x y - 2 y^2 no ponto (1,2) na direção que vai desse ponto até (4,6) . Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de derivada direcional, encontrar o gradiente da função e determinar a direção correta para o cálculo.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o vetor que representa a direção da qual queremos calcular a derivada. Esse vetor vai do ponto (1,2) até o ponto (4,6) . Subtraindo as coordenadas:
v = (4 - 1, 6 - 2) = (3,4)
Para utilizar na derivada direcional, precisamos desse vetor na forma unitária, ou seja, com comprimento 1. Calculamos o comprimento de v :
|v| = raiz3^2 + 4^2 = 5
Então, o vetor unitário u é:
u = ( 35, 45 )

Passo 3

Agora, vamos calcular o gradiente da função f no ponto (1,2) . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de f em relação a x e y .
Calculando as derivadas parciais:
fx = partial fpartial x = 3x^2 - y
fy = partial fpartial y = -x - 4y
No ponto (1,2) :
fx(1,2) = 3(1)^2 - 2 = 3 - 2 = 1
fy(1,2) = -1 - 4(2) = -1 - 8 = -9
Portanto, o gradiente de f no ponto (1,2) é:
nabla f(1,2) = (1, -9)

Passo 4

A derivada direcional de f na direção de u é dada pelo produto escalar do gradiente de f pelo vetor unitário u :
Du f(1,2) = nabla f(1,2) cdot u = (1)(35) + (-9)(45) = 35 - 365 = -335

Resposta

A derivada direcional de f no ponto (1,2) na direção da reta que vai até (4,6) é -335 .

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