Analisar a diferenciabilidade de f no ponto (0,0).
f(x, y)=rrl e^-(x^2+y^2)x^2+y^2, & se & (x, y) neq(0,0) 0, & se & (x, y)=(0,0)

Passo 1

Beleza, vamos analisar a diferenciabilidade da função f no ponto (0,0). A matéria que vamos usar aqui é cálculo de várias variáveis, focando em limites e diferenciabilidade. Para resolver isso, vamos precisar verificar se a função é contínua no ponto (0,0) e depois analisar as derivadas parciais nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a função f é contínua no ponto (0,0). Para isso, precisamos ver se o limite de f(x, y) quando (x, y) se aproxima de (0,0) é igual a f(0,0) , que é 0.

Passo 3

Vamos calcular o limite usando coordenadas polares, onde x = rcostheta e y = rsintheta . Assim, x^2 + y^2 = r^2 e a função fica:
f(r, theta) = e^-r^2r^2

Passo 4

Agora, calculamos o limite quando r tende a 0:
limr to 0 e^-r^2r^2
Sabemos que e^-r^2 se aproxima de 1 quando r tende a 0. Então, o limite fica:
limr to 0 1r^2 = +infty

Passo 5

Como o limite de f(x, y) quando (x, y) tende a (0,0) é infinito e não igual a f(0,0) = 0 , a função f não é contínua no ponto (0,0).

Resposta

A função f não é diferenciável no ponto (0,0) porque ela não é contínua nesse ponto.

Exercícios relacionados