Beleza, vamos analisar a diferenciabilidade da função f no ponto (0,0). A matéria que vamos usar aqui é cálculo de várias variáveis, focando em limites e diferenciabilidade. Para resolver isso, vamos precisar verificar se a função é contínua no ponto (0,0) e depois analisar as derivadas parciais nesse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a função f é contínua no ponto (0,0). Para isso, precisamos ver se o limite de f(x, y) quando (x, y) se aproxima de (0,0) é igual a f(0,0) , que é 0.
Passo 3
Vamos calcular o limite usando coordenadas polares, onde x = rcostheta e y = rsintheta . Assim, x^2 + y^2 = r^2 e a função fica:
f(r, theta) = e^-r^2r^2
Passo 4
Agora, calculamos o limite quando r tende a 0:
limr to 0 e^-r^2r^2
Sabemos que e^-r^2 se aproxima de 1 quando r tende a 0. Então, o limite fica:
limr to 0 1r^2 = +infty
Passo 5
Como o limite de f(x, y) quando (x, y) tende a (0,0) é infinito e não igual a f(0,0) = 0 , a função f não é contínua no ponto (0,0).
Resposta
A função f não é diferenciável no ponto (0,0) porque ela não é contínua nesse ponto.