- Ache as extensões pares e periódicas de período
de cada uma das funções dadas e discuta suas propriedades de continuidade e diferenciabilidade:
(a)
se
;
(b)
se
.
(a)
(b)
Passo 1
O enunciado pede que, para cada função dada num intervalo de comprimento
, a gente construa
- a extensão par (isto é, refletir em torno de
) - depois torne essa extensão periódica de período
e, por fim, discuta onde a extensão resultante é contínua e onde é diferenciável.
Passo 2
Dado um
b) Extensão periódica de período , escolha
tal que
e defina
Depois, para discutir continuidade, comparamos os limites laterais em pontos
e, para diferenciabilidade, checamos se as derivadas laterais coincidem nesses pontos.
Passo 3
Item (a):
em
, com
.
- Extensão par em
: como já é par,
- Extensão periódica de período
:
onde
é o inteiro tal que
.
Discussão de continuidade e diferenciabilidade:
- Em pontos interiores de cada célula
, a fórmula local é , que é suave. - No ponto
: Há, portanto, salto de para .
Logo, para (a):
E onde não é contínua, obviamente não é diferenciável; nos demais pontos, é infinitamente diferenciável.
Passo 4
Item (b):
- Extensão periódica de período satisfaz
.
Discussão de continuidade e diferenciabilidade:
- Em intervalos abertos
ou usamos polinômios, logo é suave. - Em
(os pontos finais de cada célula): e pela periodicidade coincide de ambos os lados, logo é contínua em . - Em
(ponto zero da célula):
derivada à direita de: ,
derivada à esquerda de: .
Como, não é diferenciável em .
Logo, para (b):
Resposta
(a) A extensão par-periódica de período
com descontinuidade (salto de
para
) em
. É
em
.
(b) A extensão par-periódica de período
é
com continuidade em todo .