1. Ache as extensões pares e periódicas de período T de cada uma das funções dadas e discuta suas propriedades de continuidade e diferenciabilidade:
    (a) f(x)=cos (x) se x in[0, pi], T=pi;
    (b) f(x)=x(x-1) se x in[0,1], T=2.

Passo 1

O enunciado pede que, para cada função dada num intervalo de comprimento T, a gente construa
  1. a extensão par (isto é, refletir em torno de x=0)
  2. depois torne essa extensão periódica de período T
    e, por fim, discuta onde a extensão resultante é contínua e onde é diferenciável.

Passo 2

Dado um
b) Extensão periódica de período , escolha tal que e defina
Depois, para discutir continuidade, comparamos os limites laterais em pontos e, para diferenciabilidade, checamos se as derivadas laterais coincidem nesses pontos.

Passo 3

Item (a): f(x)=cos(x) em [0,pi], com T=pi.
  1. Extensão par em [-,pi,pi]: como cos(x) já é par,
fpar(x)=cos(|x|) (xin[-pi,pi])
  1. Extensão periódica de período pi:
fper(x)=cosl(|,x - kpi,|r),
onde k é o inteiro tal que x-kpiin[-pi,pi].
Discussão de continuidade e diferenciabilidade:
  • Em pontos interiores de cada célula (kpi,,(k+1)pi), a fórmula local é cosl(|x - kpi|r), que é suave.
  • No ponto x=kpi: limxto kpi^-fper(x) =cosl(|pi|r) =cospi=-1, limxto kpi^+fper(x) =cos(0)=1 Há, portanto, salto de -1 para 1.
    Logo, para (a):
contínua em Rsetminuskpi:kinZ, não contínua em x=kpi íãí
E onde não é contínua, obviamente não é diferenciável; nos demais pontos, é infinitamente diferenciável.

Passo 4

Item (b):
  1. Extensão periódica de período satisfaz .
Discussão de continuidade e diferenciabilidade:
  • Em intervalos abertos ou usamos polinômios, logo é suave.
  • Em (os pontos finais de cada célula): e pela periodicidade coincide de ambos os lados, logo é contínua em .
  • Em (ponto zero da célula):
    derivada à direita de : ,
    derivada à esquerda de : .
    Como , não é diferenciável em .
Logo, para (b):
íá

Resposta

(a) A extensão par-periódica de período
com descontinuidade (salto de para ) em . É em .
(b) A extensão par-periódica de período é
com continuidade em todo .

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