Seja D o disco unitário no plano uv. Considere a superfície parametrizada por r(u, v)= (u+v, u-v, u). Encontre a área da superfície.

Passo 1

O enunciado pede a área da superfície dada pela parametrização
r(u,v) = (u+v,;u-v,;u)
sobre o disco unitário D = (u,v)mid u^2+v^2<=1.
O conteúdo aqui é cálculo de área de superfície via o vetor normal rutimesrv.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de r em relação a u e v:
ru = partialrpartial u = (1,,1,,1),
rv = partialrpartial v = (1,,-1,,0)

Passo 3

Formamos o produto vetorial e seu módulo:
ru times rv = i & j & k 1 & 1 & 1 1 & -1 & 0 = (1,,1,,-2),
|ru times rv| = raiz1^2 + 1^2 + (-2)^2 = raiz6

Passo 4

Como o módulo do vetor normal é constante, a área é
Área = integral duplaD |ru times rv|,dA = raiz6,integral duplaD dA = raiz6,l(picdot1^2r) = piraiz6 Á

Resposta

piraiz6

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