Encontre a área da helicoide r(u, v)=(r cos (theta), r sen(theta), theta), 0 <= r <= 1,0 <= theta <= 2 pi.

Passo 1

O enunciado pede a área da helicoide parametrizada por
r(r,theta)=l(rcostheta,;rsintheta,;thetar),
com 0<= r<=1 e 0<=theta<=2pi.
O conteúdo usado é a fórmula de área de superfície parametrizada:
A=integral duplaRl| rrtimes rthetar|;dr,dtheta

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais e o produto vetorial.
rr=(costheta,;sintheta,;0),
rtheta=(-rsintheta,;rcostheta,;1).
O produto vetorial é
rrtimes rtheta =(sintheta,;-,costheta,;r)
e sua norma fica
l| rrtimes rthetar|=raizsin^2theta+cos^2theta+r^2=raiz1+r^2

Passo 3

A área é
A =integral0^2pi!integral0^1raiz1+r^2;dr,dtheta =2piintegral0^1raiz1+r^2;dr

Passo 4

Usamos a primitiva padrão
integralraiz1+r^2,dr =rraiz1+r^22+12lnl(r+raiz1+r^2r)+C
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integral0^1raiz1+r^2,dr =[rraiz1+r^22+12lnl(r+raiz1+r^2r)]0^1 =raiz22+12lnl(1+raiz2r)

Passo 5

Multiplicando por 2pi e simplificando, obtemos
A =2pil(raiz22+12ln(1+raiz2)r) =pil(raiz2+ln(1+raiz2)r)

Resposta

pil(raiz2+ln(1+raiz2)r)

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