Seja r(u, v)=(u^2 cos (v), u^2 sen(v), u),-3 <= u <= 3,0 <= v <= 2 pi.
Determine a equação do plano tangente no ponto (1,0,-1).

Passo 1

O enunciado dá a superfície paramétrica
r(u,v)=l(u^2cos v,;u^2sin v,;ur),
com -3<= u<=3 e 0<= v<=2pi, e pede a equação do plano tangente no ponto P=(1,0,-1).
Conteúdo: plano tangente a superfície parametrizada. Vamos achar os parâmetros (u0,v0) que geram P, calcular ru e rv, obter o vetor normal pela cruz, e montar a equação do plano.

Passo 2

Para ter r(u0,v0)=(1,0,-1) basta usar a terceira componente u0=-1, depois
x=u0^2cos v0=1cdotcos v0=1Longrightarrow cos v0=1;Rightarrow;v0=0
Logo o ponto corresponde a (u0,v0)=(-1,0).

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais gerais:
ru(u,v)=(2ucos v,;2usin v,;1)
rv(u,v)=(-u^2sin v,;u^2cos v,;0)

Passo 4

Avaliando em (u0,v0)=(-1,0) temos
ru(-1,0)=(-2,,0,,1), rv(-1,0)=(0,,1,,0)

Passo 5

O vetor normal ao plano tangente é
n =ru(-1,0)timesrv(-1,0) =(-2,0,1)times(0,1,0) =(-1,0,-2)
Multiplicando por -1 para simplificar, podemos usar n=(1,0,2).

Passo 6

A equação do plano com normal n=(1,0,2) passando por P=(1,0,-1) vem de
1,(x-1)+0,(y-0)+2,(z+1)=0,
que simplifica para
x+2z+1=0

Resposta

x + 2z + 1 = 0

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