Nos problemas a seguir, determine em que intervalo(s) a função dada é crescente ou decrescente e em que intervalo(s) a concavidade da função é para cima ou para baixo. Encontre os extremos relativos e pontos de inflexão e faça um esboço da curva da função.
f(x)=(x-2)^3

Passo 1

O enunciado pede para estudar a monotonicidade, concavidade, extremos relativos e pontos de inflexão da função
f(x) = (x-2)^3,
usando derivadas. Vamos precisar calcular f'(x) para monotonicidade e extremos, e f''(x) para concavidade e inflexões.

Passo 2

Calculamos a primeira derivada usando a regra da potência e da cadeia:
f'(x) = 3,(x-2)^2
Note que (x-2)^2>=0 para todo x, e é zero apenas em x=2. Logo:
  • Para xneq2, temos f'(x)>0, isto é, f é estritamente crescente em cada intervalo que não contenha 2.
  • Em x=2, f'(2)=0, mas f'(x) não muda de sinal (continua positivo), então não há máximos nem mínimos relativos.

Passo 3

Agora a segunda derivada:
f''(x) = ddxl[3(x-2)^2r] = 6,(x-2)
Como f''(x)<0 quando x<2 e f''(x)>0 quando x>2, concluímos:
  • f é côncava para baixo em (-infty,2).
  • f é côncava para cima em (2,infty).

Passo 4

O ponto em que f''(x)=0 é x=2. Como a concavidade muda de para baixo para para cima em x=2, há ponto de inflexão em
l(2,;f(2)r) = (2,0)

Passo 5

Esboço da curva: é o cubo deslocado 2 unidades à direita. Começa descendendo concavamente para baixo à esquerda de x=2, atravessa o ponto de inflexão (2,0) com tangente horizontal, e segue crescente concavamente para cima à direita.

Resposta

A função é crescente em (-infty,2) e em (2,infty), sem intervalos de decrescimento.
A concavidade é para baixo em (-infty,2) e para cima em (2,infty).
Não há extremos relativos.
Há ponto de inflexão em (2,0).
Esboço: curva cúbica deslocada à direita, com tangente horizontal em (2,0).

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