Nos problemas a seguir, determine em que intervalo(s) a função dada é crescente ou decrescente e em que intervalo(s) a concavidade da função é para cima ou para baixo. Encontre os extremos relativos e pontos de inflexão e faça um esboço da curva da função.
Passo 1
O enunciado pede para estudar a monotonicidade, concavidade, extremos relativos e pontos de inflexão da função
usando derivadas. Vamos precisar calcular
para monotonicidade e extremos, e
para concavidade e inflexões.
Passo 2
Calculamos a primeira derivada usando a regra da potência e da cadeia:
Note que
para todo
, e é zero apenas em
. Logo:
- Para
, temos , isto é, é estritamente crescente em cada intervalo que não contenha . - Em
, , mas não muda de sinal (continua positivo), então não há máximos nem mínimos relativos.
Passo 3
Agora a segunda derivada:
Como
quando
e
quando
, concluímos:
-
é côncava para baixo em . -
é côncava para cima em .
Passo 4
O ponto em que
é
. Como a concavidade muda de para baixo para para cima em
, há ponto de inflexão em
Passo 5
Esboço da curva: é o cubo deslocado 2 unidades à direita. Começa descendendo concavamente para baixo à esquerda de
, atravessa o ponto de inflexão
com tangente horizontal, e segue crescente concavamente para cima à direita.
Resposta
A função é crescente em
e em
, sem intervalos de decrescimento.
A concavidade é para baixo em e para cima em
.
Não há extremos relativos.
Há ponto de inflexão em .
Esboço: curva cúbica deslocada à direita, com tangente horizontal em .
A concavidade é para baixo em
Não há extremos relativos.
Há ponto de inflexão em
Esboço: curva cúbica deslocada à direita, com tangente horizontal em