1. Ache as extensões pares e periódicas de período T de cada uma das funções dadas e discuta suas propriedades de continuidade e diferenciabilidade. Em seguida, determine a série de Fourier da função dada.
    (a) f(x)=x^2 se x in[0, pi], T=2 pi;
    (b) f(x)=x(x-1) se x in[0,1], T=2.

Passo 1

O enunciado pede, para cada função, que construamos sua extensão par periódica de período T, discutamos onde ela é contínua e diferenciável, e por fim obtenhamos sua série de Fourier. Vamos usar o fato de que, para uma extensão par, só aparecem termos em cosseno na série de Fourier (série em “a” apenas).

Passo 2

(a) Extensão par de
e depois estendemos periodicamente com período é contínua em e , a extensão é contínua em todos os pontos. Entretanto,
logo a derivada sofre salto em . Assim é diferenciável em exceto em .

Passo 3

(a) Cálculo dos coeficientes de cosseno para T=2pi.
A série de Fourier de uma função par de período 2pi é
frm ev(x)=a02+sumn=1^inftyancos(nx),
com
a0=2piintegral0^pix^2,dx, an=2piintegral0^pix^2cos(nx),dx
Calculamos
integral0^pix^2,dx = pi^33 Longrightarrow a0=2picdotpi^33=2pi^23
Por integração por partes duas vezes chega-se a
integral0^pix^2cos(nx),dx =2pi(-1)^nn^2,
logo
an=2pi,2pi(-1)^nn^2 =4(-1)^nn^2

Passo 4

(a) Série de Fourier final para x^2.
Substituindo em
frm ev(x) =a02+sumn=1^inftyancos(nx)
temos
a02=pi^23, an=4(-1)^nn^2,
portanto
boxed x^2 =pi^23 +sumn=1^infty4(-1)^nn^2cos(nx), periódica de período 2pi óí

Passo 5

(b) Extensão par de em com .
Definimos para
e para , estendendo depois com período .
Verifica-se que é contínua em todos os (inclusive em ), mas
logo a derivada salta em , .

Passo 6

(b) Coeficientes para T=2 ( L=1).
A série de uma função par em [-1,1] é
frm ev(x) =a02+sumn=1^infty ancos(npi x),
com
a0=integral0^1(x^2-x),dx, an=2integral0^1(x^2-x)cos(npi x),dx
Calcula-se
integral0^1(x^2-x),dx =13-12=-16,
e por integração por partes dupla chega-se a
an =2l(1+(-1)^nr)n^2pi^2,
ou seja an=0 para n ímpar e a2k=4/(4k^2pi^2)=1/(k^2pi^2).

Passo 7

(b) Série de Fourier final para x(x-1).
Substituindo em
frm ev(x) =a02+sumn=1^infty ancos(npi x)
vem
a02=-112, a2k=1k^2pi^2, a2k-1=0,
logo
boxed x(x-1) =-112 +sumk=1^infty1k^2pi^2cosl(2kpi xr), periódica de período 2 óí

Resposta

(a) A extensão par de é contínua em e não diferenciável em . Sua série de Fourier é
(b) A extensão par de é contínua em e não diferenciável em . Sua série de Fourier é

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