- Ache as extensões pares e periódicas de período
de cada uma das funções dadas e discuta suas propriedades de continuidade e diferenciabilidade. Em seguida, determine a série de Fourier da função dada.
(a)
se
;
(b)
se
.
(a)
(b)
Passo 1
O enunciado pede, para cada função, que construamos sua extensão par periódica de período
, discutamos onde ela é contínua e diferenciável, e por fim obtenhamos sua série de Fourier. Vamos usar o fato de que, para uma extensão par, só aparecem termos em cosseno na série de Fourier (série em “a” apenas).
Passo 2
(a) Extensão par de
e depois estendemos periodicamente com período é contínua em e
, a extensão é contínua em todos os pontos. Entretanto,
logo a derivada sofre salto em
. Assim
é diferenciável em exceto em
.
Passo 3
(a) Cálculo dos coeficientes de cosseno para
.
A série de Fourier de uma função par de período é
A série de Fourier de uma função par de período
com
Calculamos
Por integração por partes duas vezes chega-se a
logo
Passo 4
(a) Série de Fourier final para
.
Substituindo em
Substituindo em
temos
portanto
Passo 5
(b) Extensão par de
em
com
.
Definimos para
Definimos para
e para
, estendendo depois com período
.
Verifica-se que é contínua em todos os
(inclusive em
), mas
Verifica-se que
logo a derivada salta em
, .
Passo 6
(b) Coeficientes para
(
).
A série de uma função par em é
A série de uma função par em
com
Calcula-se
e por integração por partes dupla chega-se a
ou seja
para
ímpar e
.
Passo 7
(b) Série de Fourier final para
.
Substituindo em
Substituindo em
vem
logo
Resposta
(a) A extensão par de
é contínua em e não diferenciável em
. Sua série de Fourier é
(b) A extensão par de
é contínua em e não diferenciável em
. Sua série de Fourier é