Seja r(u, v)=(u, u+v, v), 0 <= u <= 1,0 <= v <= 2. Calcule
integral duplaS(x^2+y^2+z^2) d S

Passo 1

O enunciado dá a superfície S parametrizada por
r(u,v) = (u,;u+v,;v), 0<= u<=1,;0<= v<=2,
e pede a integral de superfície
integral duplaSl(x^2+y^2+z^2r),dS
Para resolver, usamos a fórmula de integral de superfície em parametrização:
integral duplaSf(x,y,z),dS =integral duplaDfl(r(u,v)r),l|rutimesrvr|,du,dv

Passo 2

Calcular as derivadas parciais e o vetor normal:
ru = partialrpartial u = (1,1,0), rv = partialrpartial v = (0,1,1)
O produto vetorial é
ru times rv = i&j&k 1&1&0 0&1&1 =(1,-1,1),
e seu módulo é
l|rutimesrvr| =raiz1^2+(-1)^2+1^2 =raiz3

Passo 3

Substituir na função f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2:
fl(r(u,v)r) =u^2+(u+v)^2+v^2 =2u^2+2uv+2v^2 =2l(u^2+uv+v^2r)

Passo 4

Montar a integral iterada:
integral duplaS(x^2+y^2+z^2),dS =integralu=0^1integralv=0^2 l(2(u^2+uv+v^2)r),raiz3;dv,du =2raiz3integral0^1!!integral0^2(u^2+uv+v^2),dv,du

Passo 5

Calcular a integral em v e depois em u:
integral0^2(u^2+uv+v^2),dv =2u^2 + 2u + 83,
integral0^1l(2u^2+2u+tfrac83r)du =23+1+83 =133
Multiplicando pelo fator 2raiz3
2raiz3cdot133 =26raiz33

Resposta

integral duplaS(x^2+y^2+z^2),dS =26raiz33

Exercícios relacionados