Encontre a área do parabolóide z=2 x^2+2 y^2 entre os planos z=2 e z=8.

Passo 1

O enunciado pede a área da superfície gráfica do parabolóide
z = 2x^2 + 2y^2
entre os planos z=2 e z=8.
O conteúdo aplicável é a fórmula de área de uma superfície dada por z=f(x,y), que diz
Área = integral duplaD raiz1 + fx^2 + fy^2,dA, Á
onde D é a projeção no plano xy.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de f(x,y)=2x^2+2y^2:
fx = partialpartial x(2x^2+2y^2)=4x, fy = partialpartial y(2x^2+2y^2)=4y
O fator sob a raiz fica
1 + fx^2 + fy^2 = 1 + 16x^2 + 16y^2 = 1 + 16(x^2+y^2)

Passo 3

Determinar a região D no plano xy. Como z=2x^2+2y^2 varia entre 2 e 8, temos
2 <= 2(x^2+y^2)<= 8 Longrightarrow 1 <= x^2+y^2<= 4
Em coordenadas polares (r,theta), isso é
1 <= r^2 <= 4 Longrightarrow 1 <= r <= 2, 0<=theta<=2pi

Passo 4

Escrever a integral em coordenadas polares, lembrando que dA = r,dr,dtheta:
Área = integral0^2piintegralr=1^2 raiz1 + 16r^2;r,dr,dtheta Á

Passo 5

Avaliar a integral em r. Faça a substituição
u = 1 + 16r^2, du = 32r,dr, r,dr = du32
Quando r=1, u=17; quando r=2, u=65. Logo
integral1^2 raiz1+16r^2;r,dr = integral17^65 raizu,du32 = 132,23l[u^3/2r]17^65 = 148l(65^3/2-17^3/2r)
Multiplicando por integral0^2pidtheta = 2pi, obtemos
Área = 2picdot148l(65^3/2-17^3/2r) = pi24l(65^3/2-17^3/2r) Á

Resposta

Área = pi24l(65^3/2-17^3/2r) Á

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