Seja D=(u, v) mid u^2+v^2 <= 1, u >= 0, v >= 0 e r(u, v)=(u+v, u-v, u v).
Determine integral duplaS f d S, onde f(x, y, z)=4.

Passo 1

O enunciado define a região de parâmetros
D = (u,v)mid u^2+v^2<=1,;u>=0,;v>=0
e a superfície por
r(u,v) = (u+v,;u-v,;uv)
Queremos calcular
integral duplaS f,dS,
onde f(x,y,z)=4. Como f é constante, basta achar a área de S via a parametrização e multiplicar por 4.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais
ru = partialrpartial u = (1,;1,;v), rv = partialrpartial v = (1,;-1,;u)
Os coeficientes da primeira forma fundamental são
E = rucdotru = 2+v^2, F = rucdotrv = uv, G = rvcdotrv = 2+u^2
Logo o elemento de área é
llvert rutimesrvrrvert = raizEG - F^2 = raiz(2+v^2)(2+u^2)-u^2v^2 = raiz4 + 2(u^2+v^2) = raiz2,raiz2+u^2+v^2

Passo 3

O integral de superfície fica
integral duplaS4,dS = integral duplaD4;llvert rutimesrvrrvert,du,dv = 4raiz2integral duplaDraiz2+u^2+v^2;du,dv
Como D é o quarto de disco de raio 1, fazemos u=rcostheta, v=rsintheta, com rin[0,1], thetain[0,tfracpi2]. Então du,dv = r,dr,dtheta e o integral separa-se:
4raiz2 integraltheta=0^pi/2 integralr=0^1 raiz2+r^2;r,dr,dtheta =4raiz2,pi2 integral0^1rraiz2+r^2,dr

Passo 4

Para calcular
integral0^1rraiz2+r^2,dr, use a substituição t=2+r^2, dt=2r,dr. Assim
integral rraiz2+r^2,dr =12integral t^1/2,dt =13t^3/2 =13(2+r^2)^3/2
Avaliado de r=0 a r=1
13l(3^3/2-2^3/2r) =13l(3raiz3 -2raiz2r)

Passo 5

Reunindo tudo:
integral duplaS4,dS =4raiz2,pi2,13l(3raiz3 -2raiz2r) =2raiz2,pi3l(3raiz3 -2raiz2r)
Multiplicando 2raiz2 em cada termo:
2raiz2cdot3raiz3 =6raiz6, 2raiz2cdot(-2raiz2)=-8,
logo o resultado final é
(6raiz6 -8),pi3

Resposta

integral duplaSf,dS =(6raiz6 -8),pi3

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