O enunciado pede para encontrar os extremos absolutos de
f(x)=\sqrt[5]{(x-3)^{4}}
no intervalo [2,4]. Esse é um problema de extremos absolutos em intervalo fechado: vamos achar os pontos críticos (onde f' é zero ou não existe) dentro do intervalo e também considerar as extremidades x=2 e x=4.
Passo 2
Reescrevendo
f(x)=\bigl|(x-3)\bigr|^{\tfrac{4}{5}},
podemos usar a regra da cadeia para obter a derivada (fora de x=3):
Como \bigl|x-3\bigr|^{-\tfrac{1}{5}} nunca se anula para x\neq3, e em x=3 a derivada não existe, concluímos que o único ponto crítico no interior de [2,4] é x=3.
Passo 3
Agora avaliamos f nos candidatos: x=2, x=3 e x=4.
Para x=2: