Ache os extremos absolutos de f em [2,4] se:
f(x)=\sqrt[5]{(x-3)^{4}}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os extremos absolutos de
f(x)=\sqrt[5]{(x-3)^{4}}
no intervalo [2,4]. Esse é um problema de extremos absolutos em intervalo fechado: vamos achar os pontos críticos (onde f' é zero ou não existe) dentro do intervalo e também considerar as extremidades x=2 e x=4.

Passo 2

Reescrevendo
f(x)=\bigl|(x-3)\bigr|^{\tfrac{4}{5}},
podemos usar a regra da cadeia para obter a derivada (fora de x=3):
f'(x) =\frac{4}{5}\,\bigl|x-3\bigr|^{-\tfrac{1}{5}}\;\operatorname{sgn}(x-3).
Como \bigl|x-3\bigr|^{-\tfrac{1}{5}} nunca se anula para x\neq3, e em x=3 a derivada não existe, concluímos que o único ponto crítico no interior de [2,4] é x=3.

Passo 3

Agora avaliamos f nos candidatos: x=2, x=3 e x=4.
Para x=2:
f(2)=\bigl|2-3\bigr|^{\tfrac{4}{5}} =1^{\tfrac{4}{5}} =1.
Para x=3:
f(3)=\bigl|3-3\bigr|^{\tfrac{4}{5}} =0^{\tfrac{4}{5}} =0.
Para x=4:
f(4)=\bigl|4-3\bigr|^{\tfrac{4}{5}} =1^{\tfrac{4}{5}} =1.

Passo 4

Comparando os valores:
f(3)=0 \;<\; f(2)=f(4)=1.
Logo, o mínimo absoluto ocorre em x=3 e vale 0, e o máximo absoluto ocorre em x=2 e x=4, valendo 1.

Resposta

Mínimo absoluto: f(3)=0.
Máximos absolutos: f(2)=1 e f(4)=1.

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